Системы счисления древнего мира. История возникновения чисел и системы счисления

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.

Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

Что такое цифра?

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.

А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать - позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?

Это запись чисел? Да! Но мы не можем писать так, как нам вздумается - нас должны понимать другие люди. Поэтому необходимо ещё использовать и определенные правила их записи.

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов использу ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала различные непозиционные системы счисления .

Непозиционные системы счисления

К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были " меньше ", " больше ", " столько же ".

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать , сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления. Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы. Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными: Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Н апример, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») система счисления

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Древнеегипетская десятичная система счисления

(2,5 тысяч лет до н.э.)

Пример1. Запишите число 1 245 386 в древнеегипетской записи

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена.

Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения .

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.

Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления .

Как же египтяне считали?

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел.

Пример. 19 * 31

Египтяне последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующую степень двойки.

Римская десятичная система счисления

(2 тысячи лет до н.э. и до наших дней)

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.

Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является: Запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.

Вспомните где?

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!

А какие могут повторяться?

Если слева от старшей цифры стоит младшая, то она отнимается. Если младшая цифра стоит справа от старшей, то она прибавляется - I, X, C, M могут повторяться до 3-х раз.

Например:

1)MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2)149 = (Сто - C, сорок - XL, а девять - IX) = CXLIX

Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавитные системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления были распространены у древних армян, грузин, греков (альфа, бэта, гамма), арабов, евреев, и других народов Ближнего Востока, а также у славян (аз, буки, веди).

Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр».

Удобны ли алфавитные системы?

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и .. .

Десятичная п озиционная система счисления

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов.

Основания, используемые в наши дни:

10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, угла — на 360 градусов.

12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов

7 используется для счета дней недели

Домашнее задание: - выучить определение "система счисления" и классификацию СС

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ?

2. Запишите год своего рождения:

А) в древнеегипетской системе счисления;

б) в римской системе счисления;

В) в древнеславянской системе счисления.

Агуреева Екатерина

без знания прошлого, тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.«Все есть число», говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле в различных областях, с количественными характеристиками объектов окружающего мира (возраст, вес, рост человека, численность населения, запасы полезных ископаемых, площади и т.д.).

Число – одно из основных понятий, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение в физике, механике, астрономии, химии, информатике и многих других наук. Данная тема актуальна в современном обществе, так какчисло является одним из немногих понятий, которое развивается с развитием общества.

Цель исследования: изучение чисел в разных культурах, ознакомление с системами счисления.

Задачи исследования:

· изучить историю возникновения чисел и символику;

· актуализировать подходы к представлению числовой информации;

· систематизировать и расширить знания о числе;

· показать взаимосвязь истории математики, истории развития общества в рассмотрении понятии числа;

· исследовать осведомленность одноклассников о многообразии чисел.

Объекты исследования: исторические процессы развития общества и математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования Саратовской области

Муниципальное автономное общеобразовательное

учреждение «Лицей № 37»

Фрунзенского района г. Саратова

«История чисел и систем счисления».

Творческая работа

ученицы МАОУ «Лицей № 37»

Агуреевой Екатерины

Сергеевны

Научный руководитель

Ручина Марина Юрьевна

Саратов, 2012 г.

Введение………………………………………………………………………..4

1. Развитие представления о понятии «число»…………………………………6

2. Появление цифр………………………....……………………………………..8

3. Непозиционные системы счисления………………………………………....10

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте…………………………..11

3.2. Римская система счисления……………………………………………...12

3.3. Алфавитные системы счисления……………………………………......14

4. Позиционные системы счисления…………………………………………..17

4.1. Вавилонская система счисления………………………………………..18

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления…………………...19

4.3. История «арабских» чисел……………………………………………....20

4.3.1 Двоичная система счисления………………………………………...21

4.3.2 Пятеричная система счисления ……………………………………..22

4.3.3 Десятичная система счисления……………………………………...23

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления…………..24

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Приложение 1 …………………………………………………………………....27

Приложение 2…………………………………………………………………….28

Введение.

Кто хочет ограничиться настоящим,

Без знания прошлого,

Тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Можно ли представить себе мир без чисел? На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся и даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.

Пересчитывая предметы, мы даем этому множеству количественную характеристику, даже не задумываясь о том, что и в далекие времена наши предки могли считать или, во всяком случае, могли определить количество предметов. Мы живем среди чисел. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. При помощи чисел производятся измерения, сравнения, вычисления, рисование, проектирование, даже можно делать умозаключения, выводы. Число - важнейшее понятие математики. Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков.

Так, первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов.

Практически ежедневно мы сталкиваемся с необходимостью обработки числовой информации, что влечет за собой необходимость создания и усовершенствования вычислительных устройств, благодаря которым обрабатывается огромное количество данных за наименьшее время. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). Такое представление информации называется двоичным или цифровым кодированием. Способы цифрового кодирования текстов, звуков, изображений, а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века.

Цифры, знаки обозначения арифметических действий и другие математические символы вырабатывались людьми постепенно на протяжении веков. Большинство их образовалось из рисунков, чертежей, букв и сокращённых слов.

Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

1. Развитие представления о понятии "число".

Еще в глубокой древности числа относились к области тайного. Они зашифровывались символами, и считались символами гармонии мира. Существует много теорий о происхождении чисел.

Пифагорейцы считали, что числа принадлежат к миру принципов, лежащих в основе мира вещей. Пифагор говорил: «Все вещи можно представить в виде чисел».

Аристотель называл число «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием».

Древние египтяне были убеждены, что постижение священной науки чисел составляет одну из высших ступеней герметического действия, без него не может быть посвящения.

У китайцев нечетные числа – это Ян (небо – благоприятность), четные числа – инь (земля, изменчивость и неблагоприятность). Нечетность символизирует незавершенность, непрекращающийся процесс, постоянное продолжение, то есть все то, что не имеет конца, относятся к области вечного. Поэтому в орнаментах, в укрощениях архитектурных или скульптурных сооружений используется обычно нечетное число черт или элементов. Числа – символ порядка. Реки, деревья и горы представляют собой материализованные числа.

Люди научились считать еще в каменном веке. На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предмета другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Знания постепенно росли, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два», а все числа больше двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных: число 3 – это «два и один», 4 – «два и два», 5 – «два, два, один».

Жизнь заставляла племена учиться быстрее, поэтому у земледельческих народов математика из наборов отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

2. Появление цифр.

Цифры – это знаки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр.

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда впоследствии и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» в переводе с латинского означает «камень».

Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек. Для того чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскладывали бирку пополам. Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов», так как при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной (унарной ), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, того не осознавая, этим кодом активно пользуются малыши, показывая на пальцах вой возраст. Именно унарная система является фундаментом арифметики и до сих пор вводит учащихся в мир счета.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел, так как их записывать утомительно и записи при этом получаются очень длинными.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. Когда накапливалось по несколько метров веревочной «счетной книги», достаточно сложно было вспомнить через год, что означают 4 узелочка. Людей, завязывающих узелки, называли вспоминателями.

Так же, в качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами только одной рукой.

Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг, т.е. имели в распоряжении двенадцать объектов счета. Так возникла дюжина, которая была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке. До сих пор в Европе дюжинами считают пуговицы, носовые платки, куриные яйца и многое другое, что продается поштучно.

С течением времени возникли иные, более экономичные системы счисления. Впоследствии, люди пришли к разумному решению: записывать числа по разрядам, а точнее, отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

3. Непозиционные системы счисления.

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

непозиционной , если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

В непозиционных системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные .

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков :

1. существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;

2. невозможно представлять дробные и отрицательные числа;

3. сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска - абак. Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте.

Система счисления Древнего Египта является непозиционной . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10,100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы.

100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила; - 1000 это изображение лотоса; - 10 000 "в больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец; - 100 000 это головастик; - 1 000 000 человек с поднятыми вверх руками; - 10 000 000 египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

С течением времени эти знаки изменились и приобрели более простой вид. Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая наименьшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду . Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел и в результате расчеты выглядели довольно громоздко.

3.2. Римская система счисления.

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, служит система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах и т.д.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

С течением времени облик римских цифр видоизменился, неизменными остались I, V, Х. Ученые предполагают, что первоначально иероглиф для числа 100 имел вид пучка трёх черточек на подобие русской буквы Ж , а уже впоследствии 100 стали обозначать буквой С (от начальной буквы латинского слова centum – «сто») , а для числа 50 – вид верхней половинки этой буквы., которая в дальнейшем трансформировалась в знак L. Для обозначении чисел 500 и 1000 стали применяться первые буквы соответствующих латинских слов (demimille – «половина тысячи», «пятьсот», mille – «тысяча»).

ЕДИНИЦЫ		ДЕСЯТКИ		СОТНИ		ТЫСЯЧИ
						1000
						2000
						3000
	VIII		LXXX		DCCC

Одно из правил записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей». Например: VII=5+1+1=7; IX=10-1=9

Если проанализировать множество старинных и современных надписей римскими цифрами, то можно убедиться, что авторы придерживались каких-то негласных правил. Но единых и четких принципов записи римских чисел до сих пор так и не выработано.

Римская система нумерации десятичная, но непозиционная.

3.3. Алфавитные системы счисления.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Примером такой системы являлась греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Так, в Древней Греции числа 1,2,….9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита: ά (Альфа) = 1, β (Бета) = 2, γ (Гамма) = 3 и т.д.. Для обозначения десятков применялись следующие девять букв, для сотен последние 9 букв. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Алфавитной нумерацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних числовые значения букв устанавливались в порядке славянского алфавита, у других (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ~ («титло»). При этом, числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным).

В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Первые девять чисел записывались так:

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, напри мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак.

1000 - 2000 - 7000

Десятки тысяч назывались «тьмами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

10000 - 20000 - 50000

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из точек. Например, числа 100 000 и 200 00 обозначались так:

100000 - 200000

Миллионы назывались «леордами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из лучей запятых.

или - 1000000

Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны знака единиц букву «К». Например, числа 10 000 000 или 20 000 000 обозначались так:

10000000

Сотни миллионов назывались «колодами». Для их обозначения над и под буквой, обозначающей единицы, ставились квадратные скобки. Например, числа 100 000 000 записывались в виде:

При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельно сти (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «; Л» перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись означает соответственно 500044 и 540004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше ты сяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходив ший до числа 10 50 .

4. Позиционные системы счисления.

Рассмотренные нами иероглифические и алфавитные системы счисления имели существенный недостаток – в них было очень трудно выполнять арифметические операции. Этого неудобства нет у позиционных систем.

Система счисления называется позиционной , если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Рассмотрим на примере, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева, это три тысячи, вторая, три сотни, третья – три десятка, четвертая – три единицы. Т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Число 3333 можно представить в таком виде 3*1000 + 3*100 + 3*10 + 3. Т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы – мультипликативная .

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827 г.г.) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна…».

Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

4.1. Вавилонская система счисления.

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в III тысячелетии до нашей эры в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеров. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

До нас дошли сотни тысяч обожженных глиняных табличек с письменами древних вавилонян. Простейшими цифрами в их системе служили два знака: вертикальный клин для обозначения 1 и горизонтальный клин для 10. Числа от 1 до 59 записывались с помощью этих двух знаков, как в обычной иероглифической системе.

Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    Число 60 снова обозначалось знаком  , например число 92 записывали так: 

Был у вавиловян и знак, игравший роль нуля, им обозначали отсутствие промежуточных разрядов, но при этом отсутствие младших разрядов не обозначалось никак. Так, число  могло обозначать и 3 и 180 = 3*60 и 10 800 = 3*60*60. Различать такие числа можно было только по смыслу. Отголоски этой системы проявляются в обыкновении делить час на 60 мин, 1 мин на 60 секунд, полный угол на 360 градусов.

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления.

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Например:

5 * 100 + 4 * 10 + 8 = 548

Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

4.3. История «арабских» чисел.

История привычных «арабских» чисел запутана и возникла благодаря древним астрономам, их точным расчетам. Примерно во II веке до н.э. греческие астрономы познакомились с наблюдениями вавилонян, переняли их позиционную систему счисления. Целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Для обозначения нуля использовали первую букву греческого слова Ouden - ничто. Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией, переняв шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль, соединили греческую нумерацию с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Арабы, в свою очередь первыми оценили, усвоили и перенесли ее в Европу, упростили знаки, и они приобрели вид , получив название арабской . В XII веке нашей эры она распространилась по всей Европе, так как была удобнее и проще. Слово «цифра» перешло к нам от арабов по наследству нуль или «пусто», называли «сифра». Сейчас цифрами называются все десять знаков для записи чисел.

Позиционных систем счисления достаточно много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, десятичная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная и т.д. и каждая имеет свою историю, рассмотрим некоторые из них.

Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет.

Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна 10, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на двух руках 10 пальцев. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев. Если двенадцать умножить на пять, то получим шестидесятеричную систему.

4.3.1 Двоичная система счисления.

Это основная система счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в технических устройствах. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры 1 и 0, так как они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» и «выключено».

Каждый символ представляется цепочкой из 8 нулей и единиц (всего существует 256 цепочек). Такое представление называется двоичным или цифровым кодированием .

Соответствие символов и кодов задается с помощью специальных кодовых таблиц.

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

Каждая последующая цифра в 2 раза больше предыдущей:

1 2 4 8 16 32 64 и т.д.

Пусть имеется число 1111012, его можно представить так:

111101 2 =1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8 + 1*16 + 1*32 = 61 10 , или каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, возвести в степень соответствующую положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код:

Данный способ основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.

75 10 = 1001011 2

4.3.2 Пятеричная система счисления.

В качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами одной руки.

Рассмотрим пятеричную систему счисления:

0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44

Переведем число 34 из пятеричной систему счисления в десятичную: 34 5 = 3*5 1 + 4*5 0 = 15+4=19 10 и, наоборот, из десятичной в пятеричную:

19 10 = 34 5

4.3.3 Десятичная система счисления.

Система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, в которой производим все вычисления, на ней базируется метрическая система мер. Десятичной она называется, так как в ней используется десять различных знаков (цифры 0,1,2,3….9).

В десятичном числе 255 = 2*100+5*10+5*1 цифры «5», находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию, ее «вес» изменится в 10 раз.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью нескольких цифр, находящихся на соседних позициях.

Перевод чисел из одной системы в другую осуществляется по аналогии с предыдущими системами.

Позиционный принцип и цифровое обозначение могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, кроме единицы.

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления.

В восьмеричной системе счисления использовались цифры от 0 до 7. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.

Широкое распространение имели элементы двенадцатеричной системы счисления и в Европе, и в России. Для счета использовались только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг.

Число двенадцать (дюжина), также составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления, так как число 12 имеет больше делителей (2,3,4,6), чем 10 (2 и 5) , следовательно, в двенадцатеричной системе счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной. В XIX веке математики были за полный переход именно на эту систему, но перевес на сторону десятки возник из-за возможности счета по пальцам рук (десятками).

Дюжина прочно вошла в нашу жизнь. Например, в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов, набор карандашей или фломастеров состоит из 6, 12 или 24 шт., столовые сервизы рассчитаны на 6 или 12 персон.

Заключение.

Изучая исторические процессы развития общества и математики, мы выяснили, что понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Числа составляют часть человеческого мышления и мы порой не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни.

При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения. Мы узнали о существовании различных теорий о происхождении чисел и пришли к выводу, что самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

В процессе исследования и с целью выявления осведомленности одноклассников о многообразии чисел нами было проведено анкетирование (Приложение 1, Приложение 2).

Список литературы:

1. Александров Э., Левшин В. «В лабиринте чисел».- М., 1997
2. Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 208 с.: ил.
3. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
4. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
5. Перельман Я.И. Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994 г.
6. Рыбников К.А. История математики. М.: Наука, 1994 г.
7. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990 г.

Приложение 1

Анкета для учеников 5 класса

1. Что такое число?
2. Что такое цифры?
3. Что обозначало слово «цифра»? Откуда оно пришло к нам? Изменилось ли его значение со временем?
4. Почему нами используется десятичная система счисления?

Приложение 2

Проведя анкетирование в своем классе, после обработки данных, мы получили следующие результаты:

80 % - учащихся знают, что такое число;

100 % - что такое цифра;

40% - учащихся знают, что означало слово «цифра» и имеют представление об истории происхождения.

70 % - почему нами используется десятичная система счисления.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

История записи чисел и систем счисления ведется с появления счета у людей. Люди изображали количество различных предметов с помощью засечек или черточек. Их наносили на поверхности, служившие в то время «бумагой»: глиняные дощечки, древесную кору или камни. Первые сведения о таких записях археологи относят к периоду палеолита, то есть к 10-11 тысячелетию до нашей эры.

Такой способ записи получил название единичной системы счисления. Все числа обозначались строкой черточек (или любых других знаков, например, точек): чем больше знаков в строке – тем больше число. Эта система счета была не удобна, ведь, при больших числах, было легко ошибиться в количестве палочек. Каждый раз их приходилось пересчитывать.

Для упрощения подсчета предметы стали объединять в небольшие группы по 3, 5 и 10 единиц. При этом каждой группе соответствовал свой знак-обозначение на письме. Поскольку самым удобным счетом всегда был счет на пальцах, то первыми свое обозначение получили объединения предметов из 10 и 5 единиц. Именно это положило начало удобной системе счисления.

Система, которой пользовались древние греки, называлась аттической. Первые четыре числа записывались черточками. Для числа пять существовал свой знак – «пи», как и для числа десять – первая буква слова «дека». Сотня, тысяча и десять тысяч на письме обозначались как H, X, M.

На смену этой системе в третьем веке до нашей эры пришла ионийская система. Числа от одного до девяти в ней обозначались буквами греческого алфавита: с первой по девятую. Буквами с десятую по восемнадцатую обозначались десятки – от десяти до девяноста. И последними девятью записывались сотни – от ста до девятисот.

С помощью алфавита также записывали числа восточные и южные славяне. Часть из них пользовалась славянским алфавитом, наделяя каждую букву числовым значением. Другая – только теми буквами, которые встречаются в греческом алфавите. Отличать буквы от цифр позволял специальный значок, который ставился над числом – «титло». Такая нумерация применялась в России до XVIII века.

Начало правления Петра I принесло в страну арабскую нумерацию, которой пользуются и сегодня. Однако в богослужебных книгах до сих пор используют славянскую систему записи.

Каждый из нас хотя бы немного знаком с «римской системой», которой обозначаются века, юбилейные даты, названия конференций, строфы стихов и главы книг. Именно ей пользовались когда-то Древние римляне. Исследователи считают, что она была заимствована жителями Рима у этрусков. Все целые числа в этой системе до 5000 записывают с помощью цифр I, V, X. Если впереди стоит большая цифра, а за ней – меньшая, они складываются. Если наоборот – меньшая перед большей – вычитаются. Одна и та же цифра ставится подряд не более, чем три раза. Любое арифметическое действие в такой записи чисел становится сложной задачей. Однако до XIII века в Италии и до XVI века в странах Западной Европы пользовались именно ей.

Первую поместную или позиционную нумерацию «создали» в Вавилоне в 4000 годах до нашей эры. Ее суть в том, что одна цифра может обозначать разные числа, в зависимости от места, где стоит. Яркий пример – современная десятичная система. В зависимости от позиции в числе цифра может обозначать и десяток, и единицу, и сотню.

Вавилонская система была шестидесятеричной, поскольку за основу изначально взяли не 10, а 60. Все числа меньше записывались двумя знаками – десятков и единиц. Сами числа записывались на глиняных табличках треугольными палочками, поэтому имели вид клина. Знаки повторяли в зависимости от числа.

Шестидесятеричная система не распространилась дальше Древнего Вавилона, но шестидесятеричные дроби использовались в странах Средней Азии, Западной Европы, Среднего Востока и Северной Африки. До появления десятичных дробей они играли важную роль в астрономии и других науках. Сегодня об этой системе нам напоминает деление минуты на 60 секунд, а часа – на 60 минут, угла на 360 градусов.

Все системы счисления условно можно разделить на позиционные и непозиционные. Те знаки, которые мы в них используем для записи чисел, называют цифрами.

Положение цифры в записанном числе в непозиционных системах не влияют на величину, которая ей обозначается. Это, к примеру, системы, использующие буквы для записи цифр – славянская и римская.

Положение цифры в позиционных системах определяет значение величины, которая ей записана. При этом позиция – место, которое занимает эта цифра в числе. А количество цифр, которые используются для записи, называются основанием системы. Примерами такой системы – вавилонская шестидесятеричная и современная десятичная.

Позиционные системы используют небольшое число знаков, что позволяет просто записывать большие числа. Именно поэтому она более распространена сегодня в мире. Кроме того, она обеспечивает удобство и простоту при выполнении арифметических действий над числами.

Самое большое распространение в наше время получила индо-арабская десятичная система. В ней впервые появился ноль при записи чисел. Такое название она носит, поскольку использует десять цифр.

Легче всего понять различия между позиционной системой и непозиционной системой, сравнив два числа, записанные в одной и другой. В первой сравниваются цифры, стоящие в одном и том же месте, слева на право. Чем больше число, тем больше сама величина. Например, число 245 будет больше числа 123, потому что 2 в этой позиции больше 1. Для непозиционной системы такой закон не действует. Если мы будем сравнивать римские IX и VI, то первое будет больше второго, хотя I в одинаковой позиции меньше V.

Двоичная система счисления с основанием 2 представляет положительную позиционную систему счисления с целыми числами. Она позволяет записать все числовые значения с помощью двух знаков. Чаще всего используют цифры 0 и 1.

Основанием для восьмеричной положительной позиционной системы служит 8. Любое число в ней можно записать с помощью цифр от 0 до 7. Эту систему используют цифровые и компьютерные устройства. Именно она использовалась на заре компьютерной эры, однако сейчас уступила место более продвинутой – шестнадцатеричной.

Самая узнаваемая в мире, десятичная система представляет собой позиционную систему с основанием 10. Для обозначения чисел использует арабские цифры от 0 до 9.

Одна из самых популярных систем древности – двенадцатеричная – до сих пор используется в некоторых областях науки. Она же является основной у некоторых народов Тибета и Нигерии, но напоминает о себе и в других культурах. Например, в нашем языке сохранилось слово «дюжина», а в английском языке «dozen», которые отсылают нас к числу двенадцать. Основанием ее является 12. В качестве знаков используются буквы A и B и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления – представляет позиционную положительную систему с основанием в 16 знаков. В качестве ее цифр используют буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F для обозначения чисел от десяти до пятнадцати и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления используется в современных компьютерных программах, для кодировки шрифтов. Шестнадцатеричным числом во многих современных компьютерных графических программ кодируют цвета. Также шестнадцатеричным кодом шифруют цвет web-дизайнеры. Например, код #00ff00 обозначает зеленый цвет. Две буквы f в середине этого кода соответствуют числу 256 в десятичной системе счисления.

При работе с компьютерами чаще всего используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. И человек, и компьютер отлично справляются при работе в этих системах. Но отдельные случаи заставляют обратиться к менее популярным системам счисления. Такими системами являются семеричная, троичная и система счисления с основанием 32. Все арифметические действия в них не отличаются от привычных.

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и не удивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения впервые задавшегося вопросом «сколько?», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Моравии на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по 3 или по 5. Это были древнейшие системы записи чисел – системы счисления.

Системы счисления с древнейших времён до наших дней.

Древнейшая система записи чисел называется единичной, т. к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев не забыта и в наши дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.

Позже появилось много различных числовых систем, вот наиболее известные из них.

Около 3-2,5 тысяч лет до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. – изображались специальными значками-иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Ее цифры знакомы всем, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления.

Как читать римские цифры? Одно из правил записи римских чисел гласит: «если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей».

В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражение VIIII, XXXX и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: MDCCCCLXXXXV.

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во 2-3 веках, западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как в египетской и римской системах вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно с некоторыми повторениями.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Она сменила аттическую систему в 3 веке до н. э. вместе с христианством и письменностью эта нумерация пришла к славянам – сначала к южным, потом и к восточным.

Похожие системы счисления, в которых буквы алфавиты по совместительству «подрабатывали» цифрами, использовались в старину у арабов, евреев, грузин, армян.

Записи чисел в алфавитной нумерации получаются более короткими, чем в иероглифической. Но и у той и у другой системы представления чисел есть один весьма существенный недостаток: арифметические действия над такими числами – занятие весьма трудоемкое. Этого неудобства нет у позионных систем. Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в 3 тысячелетии до н. эй. в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеры. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчетах вплоть до эпохи Возрождения.

Индейский народ майя, обитавший на территории Центральной Америки, в начале новой эры представлял числа примерно так, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другими основаниями – пятеричную-двадцатиричную.

Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе обнаружена в Индии и датируется 595 годом. Появление хорошо знакомого нам нуля было подготовлено системами счисления, издавна применявшимися не только в Индии, но и в Древнем Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч использовались одни и те же символы, но дополнительно помечалось, в каком разряде они стоят. Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все ровно можно прочитать, т. к. у каждого разряда есть свое «посадочное место» – позиция. А если позиция пустая, то ее нужно пометить специальным значком – нулем. В поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Лишь в Индии в 9 веке нуль окончательно занял свое место в нумерации, которая распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке- арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название – «арабская».

В десятичной системе всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основание системы счисления. Например, запись (1100)2 означает то же самое число, что и запись (12)10. Поскольку все мы пользуемся десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается: (1100)2=12.

Двоичная система счисления стала одним из истоков произошедшей в 20 веке грандиозной компьютерной революции. Технически две цифры воспроизвести просто: один – проходит ток в полупроводниковом элементе, ноль – ток не проходит. Состояния элемента «проходит ток» и «не проходит ток» могут сменять друг друга за очень короткие промежутки времени – миллионные доли секунды. Это позволяет производить арифметические действия над двоичными цифрами с неимоверной скоростью.

По сравнению с громоздкими таблицами умножения и сложения в десятичной системе, таблицы умножения и сложения двоичных чисел миниатюрны.

Операции простейшие, и компьютер выполняет их безупречно. Но иногда в машине происходит какой-нибудь сбой или программа-задание компьютеру на выполнение расчетов - содержит ошибку. Тогда программистам приходится перепроверять себя и компьютер, поэтому без знания всей компьютерной кухни, «стряпающей» двоичные числа, хорошему специалисту никак не обойтись.

К недостаткам двоичной системы можно отнести только «длинную» запись чисел (чем меньше в системе цифр, тем длинее будет запись числа). Перевод в двоичную систему вряд ли удастся выполнить в уме, поэтому стали использовать системы, родственные двоичной системе счисления, в которых запись числа на бумаге короче, чем в двоичной, а алгоритмы перевода не требуют сложных вычислений.

В восьмеричной системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в младшем разряде означает – как и в десятичном числе просто единицу, а в следующем разряде она означает 8, в следующем – 64 и т. д.

Запись числа в восьмеричной системе достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. Для первых десяти цифр используются привычные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных шести цифр – первые буквы латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Как и в восьмеричной системе, цифра 1, записанная в младшем разряде, означает единицу. В следующем разряде та же цифра 1 означает 16, в следующем – 256 и т. д. цифра F, записанная в младшем разряде, означает 15, в следующем разряде – 15∙16 и т. д.

Таким образом, в современных информационных технологиях при создании программного обеспечения в основном используется двоичная система счисления, так как компьютеру легче оперировать большим числом простых элементов, чем небольшим числом сложных.

Заключение

В современной действительности люди используют многие системы счисления. Иногда мы даже сами не замечаем, что, например, мы пользуемся шестидесятеричной системой в часах, двенадцатеричной в календаре и т. д. Мы не замечаем их вокруг себя, но ведь без них мы уже не мыслим жизни. История отсортировала эти системы, и некоторые из них бесследно исчезли, но зато сейчас разные системы там, где их использовать удобнее. Например, человеку легче воспринимать короткие десятичные числа, а компьютеру удобнее работать с большим количеством простых сигналов в двоичных числах. За долгое время раскрылись преимущества и недостатки разных систем счисления, и сейчас они используются как раз там, где нужно.

Древние системы счисления отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу.
Прежде всего надо отметить, что существовали две основные системы счисления - пятеричная и привычная нам десятеричная. Кроме них, существовала так же 12-ричная, которая в Англии вплоть до 19 века вообще главенствовала. Из Древнего Вавилона пришла к нам и 60-ричная система счисления, которая применяется до сих пор при измерении угловых величин - круг, состоящий из 360 градусов делится без остатка на многие удобные цифры. Стоит отметить, что в древние системы счисления ряда народов прослеживаются остатки более древней пятеричной системы - у древних римлян и майя например.

Разнообразие в на самом деле небольшое - в основном десятичная или пятерично-десятичная. Но, вот когда дело доходило до записи на бумаге или камне, то тут, как говорится, каждый был сам себе голова. Академий наук тогда не было, министерств тоже, о стандартах школьного образования тем более никто не слыхивал, китайцы знали о достижениях греков мягко говоря маловато, и наоборот. Поэтому, каждый изобретал свой способ записи.

Пожалуй самым древним обозначением числа можно считать вертикальную палочку. Почти у всех древних народов она естественным образом изображала единицу. Дальше шли соответственно две, три, реже четыре палочки. Дальше в основном вводили новые знаки по достижении какого-то числа, при котором записывать большое числа палочек было просто неудобно.

Инки в Южной Америке придумали вообще уникальную сисему счисления - типу - числа обозначались узелками на шнурках! Различалась форма узелков, цвет шнурков, их расположение на шнурке. Система была довольно сложной, требовала специального обучения, но она вполне удовлетворяла инков, позволяя вести даже двойной счёт в бухгалтерии!

В Древнем Египте бытовала десятичная система счисления и существовало несколько систем обозначения чисел. Иероглифическая форма записи, когда для всех степеней десяти, включая единицу, был свой знак. Подобно другим системама счисления, любое число можно было обозначить сложением числовых значений этих знаков. Это "парадная", довольно громоздкая форма записи, поэтому существовала жреческая (иератическая) система счисления, в которой для единиц, десятков и т.д. были отдельные знаки. Складывать в такой записи тоже приходилось, но надпись была заметно короче. Позднее возникло ещё более простое демотическое письмо. Пока египетские системы счисления в моём не сделаны, по причине затруднений с кодировками и шрифтами для древнеегипетских надписей.

Настоящей переворотом стало открытие полноценного понятия нуля индийскими математиками. Благодаря этому появилась привычная нам десятичная ПОЗИЦИОННАЯ система счисления, рассказывать о которой нет особого смысла. Во многих странах существуют свои обозначения для чисел, но на поверку - все они отличаются друг от друга только внешним видом знаков(цифр) и не более того.

Я постарался не только собрать все эти системы счисления Древнего Мира и разных народов воедино, но и сделать удобным для использования. В итоге получилась программа "Титло" - переводчик чисел .

Ещё по этой теме: