Распространение колебаний в упругой среде. Продольные и поперечные волны

Пусть колеблющееся тело находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Соприкасающиеся с ним частицы среды придут в колебательное движение, в результате чего в прилегающих к этому телу участках среды возникают периодические деформации (например, сжатие и растяжение). При деформациях в среде появляются упругие силы, которые стремятся вернуть частицы среды в первоначальное состояние равновесия.

Таким образом, периодические деформации, которые появились в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться с некоторой скоростью, зависящей от свойств среды. При этом частицы среды не вовлекаются волной в поступательное движение, а совершают колебательные движения около своих положений равновесия, от одних участков среды к другим передается только упругая деформация.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом или просто волной . Иногда эту волну называют упругой, потому что она обусловлена упругими свойствами среды.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны. Интерактивная демонстрация поперечной и продольной волны

Продольная волна – это волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Продольную волну можно наблюдать на длинной мягкой пружине большого диаметра. Ударив по одному из концов пружины, можно заметить, как по пружине будут распространяться последовательные сгущения и разрежения ее витков, бегущие друг за другом. На рисунке точками показано положение витков пружины в состоянии покоя, а затем положения витков пружины через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.

Таким образом, про дольная волна в рассматриваемом случае представляет собой чередующиеся сгущения (Сг) и разрежения (Раз) витков пружины .
Демонстрация распространения продольной волны

Поперечная волна - это волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Рассмотрим подробнее процесс образования поперечных волн. Возьмем в качестве модели реального шнура цепочку шариков (материальных точек), связанных друг с другом упругими силами. На рисунке изображен процесс распространения поперечной волны и показаны положения шариков через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.

В начальный момент времени (t 0 = 0) все точки находятся в состоянии равновесия. Затем вызываем возмущение, отклонив точку 1 от положения равновесия на величину А и 1-я точка начинает колебаться, 2-я точка, упруго связанная с 1-й, приходит в колебательное движение несколько позже, 3-я - еще позже и т.д. Через четверть периода колебания ( t 2 = T 4 ) распространятся до 4-й точки, 1-я точка успеет отклониться от своего положения равновесия на максимальное расстояние, равное амплитуде колебаний А. Через половину периода 1-я точка, двигаясь вниз, возвратится в положение равновесия, 4-я отклонилась от положения равновесия на расстояние, равное амплитуде колебаний А, волна распространилась до 7-й точки и т.д.

К моменту времени t 5 = T 1-я точка, совершив полное колебание, проходит через положение равновесия, а колебательное движение распространится до 13-й точки. Все точки от 1-й до 13-й расположены так, что образуют полную волну, состоящую из впадины и гребня.

Демонстрация распространения поперечной волны

Вид волны зависит от вида деформации среды. Продольные волны обусловлены деформацией сжатия - растяжения, поперечные волны - деформацией сдвига. Поэтому в газах и жидкостях, в которых упругие силы возникают только при сжатии, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах упругие силы возникают и при сжатии (растяжении) и при сдвиге, поэтому в них возможно распространение как продольных, так и поперечных волн.

Как показывают рисунки, и в поперечной и в продольной волнах каждая точка среды колеблется около своего положения равновесия и смещается от него не более чем на амплитуду, а состояние деформации среды передается от одной точки среды к другой. Важное отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц заключается в том, что распространение волн не связано с переносом вещества среды.

Следовательно, при распространении волн происходит перенос энергии упругой деформации и импульса без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц и из потенциальной энергии упругой деформации среды.

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распро-страняется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь со-стояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению

к направлению, в котором распространяется волна, различают про-

дольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продоль-ные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и

в жидкостях и газообразных средах.

x ляться деформации сдвига. Этим свойст-вом обладают только твердые тела.

λ На рис. 6.1.1 представлена гармони-

висимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию,на которое рас-пространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометриче-ское место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту по-верхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, назы-вается волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провес-ти через любую точку пространства, охваченного волновым процес-сом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно вол-на в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество парал-лельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концен-трических сфер.

Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое да-ет смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

S = S (x , y , z ,t ).

(6.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания час-тицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда вол-новые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все

точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S бу-дет зависеть только от координаты х и времени t

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоско-сти х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x /υ. Следователь-но, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

S ( x ; t )= A cosω( t − τ)+ϕ		= A cos	ω t −	x		+ϕ		. (6.2.4)
						υ

где А − амплитуда волны; ϕ 0 − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t − x υ) +ϕ 0 = const .

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Придадим уравнению плоской волны симметричный относи-

тельно х и t вид. Для этого введем величину k = 2 λ π , которая называ-

ется волновым числом , которое можно представить в виде

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия вол-ны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника коле-баний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному

закону A = A 0 e −β x . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

где r r − радиус-вектор, точки волны; k = k ⋅n r − волновой вектор ; n r − единичный вектор нормали к волновой поверхности.

Волновой вектор −это вектор,равный по модулю волновомучислу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности на-

зывается.
Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z
r	r	(6.3.2)
k	⋅ r = k x x + k y y + k z z .
Тогда уравнение (6.3.1) примет вид
S (x , y , z ; t )= A cos(ω t − k x x − k y y − k z z +ϕ 0).	(6.3.3)

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

∂ 2 S

r

r

∂t

= −ω A cos

(ωt − k ⋅ r

+ϕ 0) = −ω S ;

∂ 2 S

r

r

∂x

= − k x A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ 0) = −k x S

.

(6.3.4)

∂ 2 S

r

r

∂y

= − k y A cos

(ωt − k ⋅ r

+ϕ 0) = −k y S ;

∂ 2 S

r

r

∂z

= − k z A cos(ω t − k

⋅ r

+ϕ 0) = −k z S

Сложив производные по координатам, и с учетом производной

по времени, получим

∂

2

2

∂

2

∂

2

S 2

+ ∂

S 2

+

S 2

= − (k x 2 + k y 2 + k z 2)S

= − k 2 S =

k

S 2 .

(6.3.5)

∂t

∂x

∂y

∂z

ω

2

Произведем замену

k

=

ω 2

=

и получим волновое уравнение

ω

υ

ω

υ

∂ 2 S

+

∂ 2 S

+

∂ 2 S

=

1 ∂ 2 S

или

S =

1 ∂ 2 S

,

(6.3.6)

∂x 2

∂y 2

∂z 2

υ 2 ∂t 2

υ 2 ∂t 2

где =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

− оператор Лапласа.

∂x 2

∂y 2

∂z 2

Волной называют колебания, распространяющиеся в пространстве в течение времени. Для возникновения и распространения волн необходимо условия: источник колебаний и упругая среда.

Существует два типа волн: поперечные и продольные. Поперечной называют такую волну, в которой частицы колеблются перпендикулярно (т.е. поперек) направлению распространения волны. Продольной называют такую волну, в которой частицы колеблются в направлении (т.е. вдоль) распространения волны.

Характеристики колебательного процесса:

1. Смещение - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м).

2. Амплитуда - наибольшее смещение от положения равновесия (м).

3. Период Т – время, за которое совершается одно полное колебание (с).

4. Частота - число полных колебаний за единицу времени (Гц, с -1).

5. Циклическая (круговая) частота - число полных колебаний за единиц времени (секунд) ().

6. Фаза колебаний - физическая величина, определяющая смещение в данный момент времени (рад ). Фаза колебаний в начальнй момент времени называется начальной фазой.

Гармонические колебания – колебания, при которых изменения физических величин происходит по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).

или , .

Амплитуда колебаний, - частота колебаний, - начальные фазы колебаний, - фаза колебаний.

Вынужденные колебания – незатухающие колебания системы, которые вызваются действием внешней периодической силы.

Резонанс – явления возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте вынужденных колебаний.

Виды волновых процессов: механические волны, электромагнитные волны (в отличие от механических могут распространятся в вакууме).

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Пружинный маятник. .

Звук – колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн.

Цели урока:

обучающая :

• сформирование понятия «механическая волна»;
• рассмотрение условий возникновения двух видов волн;
• характеристики волн;

развивающая :

• развитие умения применять знания в конкретных ситуациях;

воспитательная:

• воспитание познавательного интереса;
• положительной мотивации к обучению;
• аккуратность при выполнении заданий.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Оборудование:

для демонстраций: резиновый шнур, стакан с водой, пипетка, макет «Волновая машина», компьютер, мультимедийный проектор, презентация «Волны».

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявление темы и целей урока.

2. Актуализация опорных знаний

Тест

Вариант № 1

. Движение качелей.

Б. Движение падающего на Землю мяча,

2. Какие из перечисленных ниже колебаний являются свободными?

Б. Колебания диффузора громкоговорителя во время работы громкоговорителя.

3. Частота колебаний тела равна 2000 Гц. Чему равен период колебаний?

4. Дано уравнение x=0,4 cos 5nt. Определить амплитуду, период колебания.

5. Подвешенный на нити груз совершает малые колебания. Считая колебания незатухающими, укажите правильные ответы.

. Чем длиннее нить, тем больше частота колебаний.

Б. При прохождении грузом положения равновесия скорость груза максимальна.

В. Груз совершает периодическое движение.

Вариант № 2

1. Какие из перечисленных ниже движений являются механическими колебаниями?

. Движение веток деревьев.

Б. Движение капелек дождя на землю.

В. Движение звучащей струны гитары.

2. Какие из перечисленных ниже колебаний являются вынужденными?

. Колебания груза на пружине после однократного отклонения его от положения равновесия.

Б. Движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего сгорания.

В. Колебания груза на нити, один раз отведенного от положения равновесия и отпущенного.

3. Период колебаний тела 0,01 с. Чему равна частота колебаний?

4. Тело совершает гармоническое колебание по закону =20 sin nt. Определить амплитуду, период колебаний.

5. Подвешенный на пружине груз совершает малые колебания в вертикальном направлении. Считая колебания незатухающими, укажите правильные ответы.

. Чем больше жесткость пружины, тем больше период колебаний.

Б. Период колебаний зависит от амплитуды.

В. Скорость груза изменяется со временем периодически.

3. Формирование новых знаний.

Основной физической моделью вещества является совокупность движущихся и взаимодействующих между собой атомов и молекул. Использование этой модели позволяет объяснить с помощью молекулярно-кинетической теории свойства различных состояний вещества и физический механизм переноса энергии и импульса в этих средах. При этом под средой мы можем понимать газ, жидкость, твердое тело.

Рассмотрим способ переноса энергии без переноса вещества в результате последовательной передачи энергии и импульса по цепочке между соседними взаимодействующими друг с другом частицами среды.

Волновой процесс - это процесс переноса энергии без переноса вещества.

Демонстрация опыта:

Прикрепим к потолку резиновый шнур и резким движением руки заставим его свободный конец совершить колебание. В результате внешнего воздействия на среду в ней возникает возмущение – отклонение частиц среды от положения равновесия;

Проследить за распространением волн на поверхности воды в стакане, создавая их каплями воды, падающими их пипетки.

Механическая волна - это возмущение, распространяющееся в упругой среде от точки к точке (газ, жидкость, твердое тело).

Знакомство с механизмом образования волны на макете «Волновая машина». При этом учитывать колебательное движение частиц и распространение колебательного движения.

Различают волны продольные и поперечные.

Продольные – волны в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. (Газы, жидкости, твердые тела). Наблюдается когда забивается гвоздь молотком, продольный импульс проносится вдоль гвоздя, загоняя его глубже.

Поперечные – волны, в которой частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (твердые тела). Наблюдается в веревке, один конец которой приходит в колебательное движение.

Бегущая волна, основное свойство которой в переносе энергии без переноса вещества: электромагнитное излучение Солнца обогревает Землю, волны океана размывают берега.

Характеристики волны.

Длина волны – расстояние, пройденное волной за один период колебания ее частиц. На расстоянии длины волны располагаются соседние гребни или впадины в поперечной волне или сгущения или разрежения в продольной.

λ - длина волны.

Скорость волны - скорость перемещения гребней и впадин в поперечной волне и сгущений и разрежений в продольной.

v – скорость волны

Знакомство с формулами для определения длины волны:

λ = v / v

v – частота

T – период

Формирование умений и навыков.

Решение задач.

1. Мальчик несет на коромысле ведра с водой, период свободных колебаний которых 1,6 с. При какой скорости движения мальчика вода начнет особенно сильно выплескиваться, если длина его шага 65 см?

2. По поверхности воды в озере распространяется волна со скоростью 8 м/с. Каковы период и частота колебаний бакена, если длина волны 3 м?

3. Длина волны в океанах может достигать 400 м, а период 14,5 с. Определите скорость распространения такой волны.

Итоги урока.

1. Что такое волна?

2. В чем заключается процесс возникновения волн?

3. Какие волны мы воспринимаем находясь в классе?

4. Происходит ли перенос вещества среды при образовании волн?

5. Перечислите характеристики волн.

6. Как связаны скорость, длина волны и частота?

Домашнее задание:

П.31-33 (учебник Физика-9)

№ 439,438 (Рымкевич А.П.)

Рассмотрим опыт, показанный на рисунке 69. Длинную пружину подвешивают на нитях. Ударяют рукой по её левому концу (рис. 69, а). От удара несколько витков пружины сближаются, возникает сила упругости, под действием которой эти витки начинают расходиться. Как маятник проходит в своём движении положение равновесия, так и витки, минуя положение равновесия, будут продолжать расходиться.

В результате в этом же месте пружины образуется уже некоторое разрежение (рис. 69, б). При ритмичном воздействии витки на конце пружины будут периодически то сближаться, то отходить друг от друга, совершая колебания возле своего положения равновесия. Эти колебания постепенно передадутся от витка к витку вдоль всей пружины. По пружине распространятся сгущения и разрежения витков, как показано на рисунке 69, е.

Рис. 69. Возникновение волны в пружине

Другими словами, вдоль пружины от её левого конца к правому распространяется возмущение, т. е. изменение некоторых физических величин, характеризующих состояние среды. В данном случае это возмущение представляет собой изменение с течением времени силы упругости в пружине, ускорения и скорости движения колеблющихся витков, их смещения от положения равновесия.

• Возмущения, распространяющиеся в пространстве, удаляясь от места их возникновения, называются волнами

В данном определении речь идёт о так называемых бегущих волнах. Основное свойство бегущих волн любой природы заключается в том, что они, распространяясь в пространстве, переносят энергию.

Так, например, колеблющиеся витки пружины обладают энергией. Взаимодействуя с соседними витками, они передают им часть своей энергии и вдоль пружины распространяется механическое возмущение (деформация), т. е. образуется бегущая волна.

Но при этом каждый виток пружины колеблется около своего положения равновесия, и вся пружина остаётся на первоначальном месте.

Таким образом, в бегущей волне происходит перенос энергии без переноса вещества .

В данной теме будем рассматривать только упругие бегущие волны, частным случаем которых является звук.

• Упругие волны - это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде

Иначе говоря, образование упругих волн в среде обусловлено возникновением в ней упругих сил, вызванных деформацией. Например, если по какому-нибудь металлическому телу ударить молотком, то в нём возникнет упругая волна.

Помимо упругих существуют и другие виды волн, например электромагнитные волны (см. § 44). Волновые процессы встречаются почти во всех областях физических явлений, поэтому их изучение имеет большое значение.

При возникновении волн в пружине колебания её витков происходили вдоль направления распространения волны в ней (см. рис. 69).

• Волны, в которых колебания происходят вдоль направления их распространения, называются продольными волнами

Кроме продольных волн существуют и поперечные волны. Рассмотрим такой опыт. На рисунке 70, а показан длинный резиновый шнур, один конец которого закреплён. Другой конец приводят в колебательное движение в вертикальной плоскости (перпендикулярно горизонтально расположенному шнуру). Благодаря силам упругости, возникающим в шнуре, колебания будут распространяться вдоль шнура. В нём возникают волны (рис. 70, б), причём колебания частиц шнура происходят перпендикулярно направлению распространения волн.

Рис. 70. Возникновение волн в шнуре

• Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению их распространения, называются поперечными волнами

Движение частиц среды, в которой образуются как поперечные, так и продольные волны, можно наглядно продемонстрировать с помощью волновой машины (рис. 71). На рисунке 71, а показана поперечная волна, а на рисунке 71, б - продольная. Обе волны распространяются в горизонтальном направлении.

Рис. 71. Поперечная (а) и продольная (б) волны

На волновой машине представлен только один ряд шариков. Но, наблюдая за их движением, можно понять, как распространяются волны в сплошных средах, протяжённых во всех трёх направлениях (например, в некотором объёме твёрдого, жидкого или газообразного вещества).

Для этого представьте себе, что каждый шарик является частью вертикального слоя вещества, расположенного перпендикулярно к плоскости рисунка. Из рисунка 71, а видно, что при распространении поперечной волны эти слои, подобно шарикам, будут сдвигаться друг относительно друга, совершая колебания в вертикальном направлении. Поэтому поперечные механические волны являются волнами сдвига.

А продольные волны, как видно из рисунка 71, б, - это волны сжатия и разрежения. В этом случае деформация слоев среды состоит в изменении их плотности, так что продольные волны представляют собой чередующиеся уплотнения и разрежения.

Известно, что упругие силы при сдвиге слоев возникают только в твёрдых телах. В жидкостях и газах смежные слои свободно скользят друг по другу без появления противодействующих упругих сил. Раз нет упругих сил, то и образование упругих волн в жидкостях и газах невозможно. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твёрдых телах.

При сжатии и разрежении (т. е. при изменении объёма участков тела) упругие силы возникают как в твёрдых телах, так и в жидкостях и газах. Поэтому продольные волны могут распространяться в любой среде - твёрдой, жидкой и газообразной.

Вопросы

1. Что называется волнами?
2. В чём заключается основное свойство бегущих волн любой природы? Происходит ли в бегущей волне перенос вещества?
3. Что такое упругие волны?
4. Приведите пример волн, не относящихся к упругим.
5. Какие волны называются продольными; поперечными? Приведите примеры.
6. Какие волны - поперечные или продольные - являются волнами сдвига; волнами сжатия и разрежения?
7. Почему поперечные волны не распространяются в жидких и газообразных средах?