Распределение скоростей молекул по Максвеллу. Измерение скоростей молекул. Опыт Штерна. Опытная проверка распределения молекул по скоростям. Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы
- В большом числе случаев знание одних средних значений физических величин недостаточно. Например, знание среднего роста людей не позволяет планировать выпуск одежды различных размеров. Надо знать приблизительное число людей, рост которых лежит в определенном интервале.
Точно так же важно знать числа молекул, имеющих скорости, отличные от среднего значения. Максвелл первым нашел, как эти числа можно определять.
Вероятность случайного события
В § 4.1 мы уже упоминали, что для описания поведения большой совокупности молекул Дж. Максвелл ввел понятие вероятности.
Как неоднократно подчеркивалось, в принципе невозможно проследить за изменением скорости (или импульса) одной молекулы на протяжении большого интервала времени. Нельзя также точно определить скорости всех молекул газа в данный момент времени. Из макроскопических условий, в которых находится газ (определенный объем и температура), не вытекают с необходимостью определенные значения скоростей молекул. Скорость молекулы можно рассматривать как случайную величину, которая в данных макроскопических условиях может принимать различные значения, подобно тому как при бросании игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6 (число граней кости равно шести). Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кости, нельзя. Но вероятность того, что выпадет, скажем, пять очков, поддается определению.
Что же такое вероятность наступления случайного события? Пусть произведено очень большое число N испытаний (N - число бросаний кости). При этом в N" случаях имел место благоприятный исход испытаний (т. е. выпадение пятерки). Тогда вероятность данного события равна отношению числа случаев с благоприятным исходом к полному числу испытаний при условии, что это число сколько угодно велико:
Для симметричной кости вероятность любого выбранного числа очков от 1 до 6 равна .
Мы видим, что на фоне множества случайных событий обнаруживается определенная количественная закономерность, появляется число. Это число - вероятность - позволяет вычислять средние значения. Так, если произвести 300 бросаний кости, то среднее число выпаданий пятерки, как это следует из формулы (4.6.1), будет равно 300 = 50, причем совершенно безразлично, бросать 300 раз одну и ту же кость или одновременно 300 одинаковых костей.
Несомненно, что поведение молекул газа в сосуде гораздо сложнее движения брошенной игральной кости. Но и здесь можно надеяться обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислять статистические средние, если только ставить задачу так же, как в теории игр, а не как в классической механике. Нужно отказаться от неразрешимой задачи определения точного значения скорости молекулы в данный момент и попытаться найти вероятность того, что скорость имеет определенное значение.
Распределение молекул по скоростям - распределение Максвелла
Максвелл допустил, что в газах в состоянии теплового равновесия существует некоторое распределение скоростей, не изменяющееся с течением времени, иными словами, число молекул, имеющих скорости в заданном интервале значений, остается постоянным. И Максвелл нашел это распределение.
Но главная заслуга Максвелла состояла не столько в решении этой задачи, сколько в самой постановке новой проблемы. Он ясно осознал, что случайное в данных макроскопических условиях поведение отдельных молекул подчинено определенному вероятностному, или статистическому, закону. Этот статистический закон для распределения молекул газа по скоростям оказался сравнительно простым.
Наглядно распределение молекул по скоростям можно представить следующим образом. Выберем прямоугольную систему отсчета, на осях которой будем откладывать проекции v x , v y , v z скоростей частиц. В результате получится трехмерное «пространство скоростей», каждая точка которого соответствует молекуле со строго заданной скоростью v, равной по модулю длине радиуса-вектора, проведенного из начала системы отсчета в эту точку (рис. 4.7).
Рис. 4.7
Общее представление о распределении молекул по скоростям получится, если скорость каждой из N молекул изобразить точкой в этом пространстве скоростей (рис. 4.8). Точки окажутся расположенными довольно хаотически, но в среднем плотность точек будет убывать по мере удаления от начала отсчета (не все значения скоростей молекул встречаются одинаково часто).
Рис. 4.8
Картина распределения точек, конечно, не является застывшей. С течением времени скорости молекул за счет столкновений меняются и, следовательно, меняется картина распределения точек в пространстве скоростей. Однако ее изменение таково, что средняя плотность точек в любой области пространства скоростей со временем не будет изменяться, она остается одной и той же. Именно это и означает существование определенного статистического закона. Средней плотности соответствует наиболее вероятное распределение скоростей.
Число точек AN в некотором малом объеме Δv x Δv y Δv z пространства скоростей, очевидно, равно этому объему, помноженному на плотность точек внутри него. (Аналогично масса Δm некоторого объема ΔV равна произведению плотности вещества ρ на этот объем: Δm = ρΔV.) Обозначим через Nf(v x , v y , v z) среднюю плотность точек в пространстве скоростей, т. е. число точек, приходящихся на единицу объема пространства скоростей (N - общее число молекул газа). Тогда
Фактически ΔN - это число молекул, проекции скоростей которых лежат в интервалах значений от v x до v x + Δv x , от v y до v y + Δv y и от v z до v z + Δv z (радиусы-векторы скоростей этих молекул оканчиваются внутри объема пространства скоростей Δv = Δv x Δv y Δv z , имеющего форму куба (см. рис. 4.8).
Вероятность того, что проекции скорости молекулы лежат в заданном интервале скоростей, равна отношению числа молекул с данным значением скорости к полному числу молекул:
Функция f(v x , v y , v z) называется функцией распределения молекул по скоростям и представляет собой плотность вероятности, т. е. вероятность, отнесенную к единичному объему пространства скоростей.
Скорости молекул в данный момент времени в принципе могут оказаться любыми. Но вероятность различных распределений скоростей неодинакова. Среди всех возможных мгновенных распределений имеется одно, вероятность которого больше, чем всех других, - наиболее вероятное распределение. Максвелл установил, что функция распределения f(v x , v y , v z), дающая это наивероятнейшее распределение скоростей молекул (распределение Максвелла), определяется отношением кинетической энергии молекулы
к средней энергии ее теплового движения kT (k - постоянная Больцмана). Это распределение имеет вид
Здесь е ≈ 2,718 - основание натуральных логарифмов, а величина А не зависит от скорости.
Таким образом, по Максвеллу, плотность точек, изображающих молекулы в пространстве скоростей, максимальна вблизи начала отсчета (v = 0) и убывает с ростом v, причем тем быстрее, чем меньше энергия теплового движения kT. На рисунке 4.9 представлена зависимость функции распределения f от проекции v x при условии, что проекции v y и v z любые. Функция распределения имеет характерную колоколообразную форму, которая часто встречается в статистических теориях и называется кривой Гаусса.
Рис. 4.9
Постоянную А находят из условия, что вероятность для скорости молекулы иметь любое значение от нуля до бесконечности должна равняться единице. Это условие называется условием нормировки. (Аналогично вероятность выпадания любого числа очков от 1 до 6 при данном бросании игральной кости равна единице.) Полная вероятность получается сложением вероятностей всех возможных взаимоисключающих реализаций случайного события.
Суммируя вероятности ΔW i всех возможных значений скорости i , получим уравнение
Вычислив с помощью уравнения (4.6.5) нормировочную постоянную А, можно записать выражение для среднего числа частиц со скоростями в заданном интервале в следующей форме:
Скорость любой молекулы в данный момент времени - случайная величина. Поэтому и само распределение молекул по скоростям в данный момент времени случайно. Но среднее распределение, определяемое статистическим законом, реализуется с необходимостью в определенных макроскопических условиях и не меняется со временем. Однако всегда есть отклонения от средних - флуктуации. Эти отклонения с равной вероятностью происходят в ту и в другую сторону. Именно поэтому в среднем имеется определенное распределение молекул по скоростям.
Распределение молекул по скоростям Максвелла оказывается справедливым не только для газов, но и для жидкостей и твердых тел. Лишь в том случае, когда для описания движения частиц нельзя применить классическую механику, распределение Максвелла перестает быть верным.
Распределение модулей скоростей молекул
Найдем среднее число молекул, скорости которых по модулю лежат в интервале от v до v + Δv.
Распределение Максвелла (4.6.4) определяет число молекул, проекции скоростей которых лежат в интервалах значений от v x до v x + Δv x , от v y до v y + Δv y , от v z до v z + Δv z . Векторы этих скоростей оканчиваются внутри объема Δv x Δu y Δv z (см. рис. 4.8). Таким образом задается среднее число молекул, имеющих определенный модуль и определенное направление скоростей, задаваемые положением объема Δv x Δu y Δv z в пространстве скоростей.
Все молекулы, модули скоростей которых лежат в интервале от v до и + Δv, располагаются в пространстве скоростей внутри шарового слоя радиусом v и толщиной Δv (рис. 4.10). Объем шарового слоя равен произведению площади поверхности слоя на его толщину: 4πv 2 Δv.
Рис. 4.10
Число молекул, находящихся внутри этого слоя и, следовательно, обладающих заданными значениями модуля скорости в интервале от v до v + Δv, может быть найдено из формулы (4.6.2), если заменить объем Δv x Δu y Δv z на объем 4πv 2 Δv.
Таким образом, искомое среднее число молекул равно
Так как вероятность определенного значения модуля скорости молекулы равна отношению , то для плотности вероятности получим
График, выражающий зависимость этой функции от скорости, показан на рисунке 4.11. Мы видим, что функция f(v) имеет максимум уже не в нуле, как плотность вероятности f(v x , v y , v z). Причина этого состоит в следующем. Плотность точек, изображающих молекулы в пространстве скоростей, по-прежнему будет наибольшей вблизи v = 0, но за счет роста объемов шаровых слоев с увеличением модулей скоростей (~ v 2) происходит увеличение функции f(v). При этом число точек внутри шарового слоя растет быстрее, чем убывает функция f(v x , v y , v z) вследствие уменьшения плотности точек.
Рис. 4.11
Можно пояснить сказанное наглядным примером. Допустим, обычную мишень с концентрическими кругами обстреливает достаточно меткий стрелок. Попадания пуль концентрируются вокруг центра мишени. Плотность попаданий - число попаданий на единицу площади - будет максимальной вблизи центра мишени. Разделим мишень на отдельные узкие полоски шириной Δx (рис. 4.12, а). Тогда отношение числа попаданий на данную полоску к ее ширине будет максимально вблизи центра мишени.
Рис. 4.12
Зависимость отношения числа попаданий в данную полоску к ее ширине имеет вид, показанный на рисунке 4.12, б. Здесь опять получается гауссова кривая, как и для распределения f(v x) по проекциям скоростей (см. рис. 4.9).
Но совсем другой результат получится, если подсчитывать число попаданий в различные кольца мишени. В этом случае отношение числа попаданий в кольцо радиусом г к его ширине графически будет характеризоваться кривой, изображенной на рисунке 4.12, в. Хотя плотность попаданий по мере удаления от центра мишени убывает, но площади колец растут пропорционально r, что и приводит к смещению максимума кривой от нуля.
Наиболее вероятная скорость молекул
Зная формулу (4.6.8) для плотности вероятности модулей скоростей молекул, можно найти значение скорости, соответствующей максимуму плотности этой вероятности(1). Скорость (ее называют наиболее вероятной) оказывается равной
Большинство молекул имеют скорости, близкие к наиболее вероятной (см. рис. 4.11).
По мере увеличения абсолютной температуры Т наиболее вероятная скорость увеличивается и при этом кривая зависимости До) становится все более сглаженной (рис. 4.13).
Рис. 4.13
Роль быстрых молекул
При любой температуре имеется некоторое количество молекул, скорости которых, а значит, и кинетические энергии, заметно превышают средние.
Известно, что многие химические реакции, например горение обычных видов топлива (дрова, уголь и т. д.), начинаются только при определенной, достаточно высокой температуре. Энергия, необходимая для начала процесса окисления топлива, т. е. горения (ее называют энергией активации), имеет порядок 10 -19 Дж. А при температуре 293 К (комнатная температура) средняя кинетическая энергия теплового движения молекул составляет примерно 5 10 -21 Дж. Поэтому горение не происходит. Однако увеличение температуры всего лишь в 2 раза (до 586 К) вызывает воспламенение. Средняя энергия молекул увеличивается при этом тоже в 2 раза, но число молекул, кинетическая энергия которых превышает 10 -19 Дж, увеличивается в 10 8 раз. Это следует из распределения Максвелла. Поэтому при температуре 293 К вы чувствуете себя, читая книгу, комфортно, а при 586 К книга начинает гореть.
Испарение жидкости также определяется быстрыми молекулами правого «хвоста» максвелловского распределения. Энергия связи молекул воды при комнатной температуре значительно больше кТ. Тем не менее испарение происходит за счет небольшого числа быстрых молекул, у которых кинетическая энергия превышает кТ.
Максвелл открыл новый тип физического закона - статистический - и нашел распределение молекул по скоростям. Он отчетливо понимал значение своего открытия. В докладе Кембриджскому философскому обществу Максвелл сказал: «Я считаю, что наиболее важное значение для развития наших методов мышления молекулярные теории имеют потому, что они заставляют делать различие между двумя методами познания, которые мы можем назвать динамическим и статистическим».
(1) Это делается по правилам нахождения максимума известной функции. Нужно вычислить производную этой функции по скорости и приравнять ее нулю.
Для решения многих задач удобно пользоваться формулой Максвелла в форме, которая получается, если выразить скорости молекул не в обычных единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости наивероятнейшую скорость молекул Относительная скорость и, следовательно, равна
Здесь заданная скорость молекул, наивероятнейшая скорость при данной температуре. Как мы только что выяснили,
В формулу Максвелла
дважды входит выражение Заменив в ней это выражение равным ему выражением и обозначив буквой и, можно уравнению Максвелла придать вид
Это уравнение - универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.
Подобное же уравнение можно составить и для функции распределения молекул по составляющим скорости по осям координат.
Если, например, идет речь о х-компоненте скорости, то, введя и здесь относительную скорость можно представить функцию распределения (12.5) в виде
Для решения различных задач, связанных с распределением молекул по скоростям, удобно пользоваться формулами распределения именно в форме (16.1) и (16.2). На рис. 19 представлена кривая распределения для относительных скоростей.
могут быть заранее вычислены для различных значений и и их и представлены в виде графиков, по которым и можно определять искомые величины. В табл. 1 представлены значения этих функций, вычисленные с достаточной для решения многих задач точностью.
Таблица 1 (см. скан)
Пусть, например, требуется найти долю частиц азота при комнатной температуре (300 К), скорости которых заключены между 275 и 276 м/с.
Прежде всего находим наивероятнейшую скорость:
Относительная скорость и равна:
Из выражения следует, что . В данном случае интервал скорости, равный достаточно мал и можно считать, что По графику, который каждый может построить по данным таблицы 1, находим, что относительной скорости соответствует значение функции
Значит, только 0,17% всех молекул обладают скоростями, лежащими в указанном в задаче интервале скоростей.
Одной из интересных задач, связанных с распределением молекул по скоростям, является определение доли всех молекул, скорости которых превышают заданную. Для решения таких задач также удобно пользоваться формулой Максвелла для относительных скоростей, т. е. формулой
Ясно, что если нужно найти долю молекул, скорости которых превышают некоторое заданное значение а значит и определенное и, то уравнение нужно проинтегрировать в пределах от заданного и до бесконечности, так что
где - это число молекул, относительные скорости которых больше заданного и. Следовательно, решение задачи сводится к вычислению стоящего здесь интеграла. В табл. 2 приведены его значения для различных значений и. Из таблицы видно, что число молекул, чьи скорости превышают наиболее вероятную, т. е. молекул составляет 57,24% всех молекул в газе - более половины.
§4 Закон Максвелла о распределении по скоростям и энергиям
Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число dN молекул однородного (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т скорости, заключенные в интервале от v до v + dv .
Для вывода функции распределения молекул по скоростям f ( v ) равной отношению числа молекул dN , скорости которых лежат в интервале v ÷v + dv к общему числу молекул N и величине интервала dv
Максвелл использовал два предложения:
а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т.е. любое направление скорости одинаково вероятно. Это свойство иногда называют свойством изотропности функции распределения.
б) движение по трем взаимно перпендикулярным осям независимы т.е. х-компоненты скорости не зависит от того каково значения ее компонент или . И тогда вывод f ( v ) делается сначала для одной компоненты , а затем обобщается на все координаты скорости.
Считается также, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Силовые поля на газ не действуют.
Функции f ( v ) определяет относительное число молекул dN ( v )/ N скорости которых лежат в интервале от v до v + dv (например: газ имеет N = 10 6 молекул, при этом dN = 100
молекул имеют скорости от v =100 до v + dv =101 м/с (dv = 1 м ) тогда .
Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f ( v ) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:
f ( v ) зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т )
f ( v ) зависит от отношения кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости к величине kT характеризующей среднюю тепловую энергию молекул газа.
При малых v и функция f ( v ) изменяется практически по параболе . П ри возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель , т.е. имеется max функции f ( v ) . Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью найдем из условия
Следовательно, с ростом температуры наиболее вероятная скорость растёт, но площадь S , ограниченная кривой функции распределения остаётся неизменной, так как из условия нормировки (так как вероятность достоверного события равна 1), поэтому при повышении температуры кривая распределения f ( v ) будет растягиваться и понижаться.
В статистической физике среднее значение какой-либо величины определяется как интеграл от 0 до бесконечности произведения величины на плотность вероятности этой величины (статистический вес)
< X >=
Тогда средняя арифметическая скорость молекул
И интегрируя по частям получили
Скорости, характеризующие состояние газа
§5 Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла - опыт Штерна
Вдоль оси внутреннего цилиндра с целью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током. При нагревании серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скорости попадают в одно и то же место В. При вращении цилиндров с угловой скоростью ω атома серебра попадут в точки В’, B ’’ и так далее. По величине ω, расстоянию? и смещению х = ВВ’ можно вычислить скорость атомов, попавших в точку В’.
Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаждённого слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.
§6 Барометрическая формула
Распределение Больцмана
До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться. Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.
Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно p , то на высоте h + dh оно равно p + dp (при dh > 0, dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h ).
Разность давления на высотах h и h + dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой dh .
плотность на высоте h , и так как , то = const .
Тогда
Из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Тогда
Или
С изменением высоты от h 1 до h 2 давление изменяется от p 1 до p 2
Пропотенцируем данное выражение (
Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой
При
Тогда
Т.к.
то
n h ,
n 0 концентрация молекул на высоте h =0.
Т .к
то
потенциальная энергия молекул в поле тяготения
распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.
§7 Опытное определение постоянной Авогадро
Ж. Перрен (французкий ученый) в 1909 г. исследовал поведение броуновских частиц в эмульсии гуммигута (сок деревьев) с размерами осматривались с помощью микроскопа, который имел глубину поля - 1мкм. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.
Применив к ним распределение Больцмана можно записать
n = - где m -масса частицы
m - масса вытесненной жидкости:
Если n 1 и n 2 концентрация частиц на уровнях h 1 и h 2 , а k = R / N A , то
N A =
Значение хорошо согласуется со справочным значением , что подтверждает больцмановское распределение частиц
Так как в состоянии равновесия давление во всех частях системы одинаково, то естественно допустить, что в газе отсутствуют какие-либо направленные движения молекул, то есть движения молекул предельно неупорядочены.
В отношении скоростей молекулы это означает:
Скорость молекул и ее проекции являются непрерывными величинами, так как ни одно значение скорости не имеет преимущества перед другими значениями;
При тепловом равновесии в газе все направления скоростей молекул равновероятны. В противном случае это привело бы к образованию направленных макроскопических потоков молекул и возникновению перепадов давления.
Так как скорость и ее проекции являются непрерывными величинами, вводится понятие функции плотности распределения f(v x), f(v y), f(v z) по компонентам скоростей молекул (v x , v y , v z) и по модулю скорости f(v)
Выражения для функций плотности вероятности по компонентам скоростей v x , v y , v z имеют вид
График функции f(v x)изображен на рис. 1.
Функция имеет максимум при v x = 0, симметрична относительно его и экспоненциально стремится к нулю при v x ® ± ¥. Отложим по оси абсцисс элементарные скоростные интервалы dv x около значений v x , равных 0; ± v x ¢; ± v x ¢¢. Произведение f(v x) dv x равно доле молекул, компонента скорости v x которых лежит в интервале около указанных значений. С другой стороны, произведение f(v x) dv x на графике равно заштрихованным площадкам около выбранных скоростей.
Из сопоставления размеров заштрихованных площадей следует:
Относительное большинство молекул имеет проекцию скорости вдоль оси v x , близкую к нулю;
Доли молекул, имеющих одинаковые значения v x , но летящие в противоположных направлениях (разные знаки +v x и -v x), одинаковы;
Число молекул, имеющих большие значения компонент скоростей, мало (мала площадь около ± v x ¢¢).
Аналогичный анализ можно провести и для f(v y), f(v z).
График функции f(v) изображен на рис. 2.
Функция равна 0 при v = 0; стремится к нулю при v ® ¥, при v = v b имеет максимум. Значение скорости v b , при которой функция плотности распределения достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Ее значение находится из условия экстремума.
Произведение f(v) dv дает долю молекул, скорости которых лежат в выбранном интервале dv. На графике это произведение равно заштрихованным площадкам. Как видно из графика, максимальная площадка соответствует скорости v b . С увеличением скорости доля молекул, обладающих большими скоростями, уменьшается (малая площадь при v 3). Зная аналитический вид f(v), можно найти
Распределение молекул по скоростям зависит от температуры.
Закон Максвелла распределения молекул газа по скоростям описывает поведение очень большого числа частиц, то есть является статистическим законом. Распределение молекул по скоростям устанавливается посредством их столкновений. При столкновениях изменяются скорости отдельных молекул, но закон распределения по скоростям не изменяется.
Характерными параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υ в, соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость где – среднее значение квадрата скорости.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Еще по теме Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.:
- 57. Молекулярно-кинетический смысл температуры. Энергия и скорость теплового движения молекул.
- Механическое движение Относительность движения, Система отсчета, Материальная точка, Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение
Распределение Максвелла
В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, к примеру в некотором объёме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение скорости молекул. Ответ на вопрос, сколько молекул, или какая их часть движется с определенной скоростью в данный момент, был теоретически получен Максвеллом.
Введем понятие пространства скоростей. Для каждой молекулы откладываем компоненты ее скорости по трем взаимно перпендикулярным осям (рис. 1.3.1).
Каждая точка в пространстве скоростей соответствует одной молекуле с определенной скоростью. Вектор скорости идет от начала координат к рассматриваемой точке.
Рассмотрим, как будут распределены молекулы, содержащиеся в единичном объёме газа по скоростям.
Эти молекулы будут изображаться совокупностью из n точек. Из-за столкновений молекул какие-то точки будут выходить из элемента объёма, а другие входить в него. При этом среднее число точек в данном элементе объёма сохраняется.
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), которая принято называть функция распределения молекул по скоростям. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, ᴛ.ᴇ.
Откуда .
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел эту функцию:
Из формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m 0) и от параметра состояния (температуры T).
График функции f(v) приведен на рис.1.3.2. Функция f(v) начинается от нуля, достигает максимума при v в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая не симметрична относительно v в.
Распределение Максвелла - это распределение по скоростям молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия.
Интегрируя распределение Максвелла, можно рассчитать средние величины. Средний квадрат скорости (средняя квадратичная скорость)
|
Для того, чтобы найти число молекул, обладающих скоростями в интервале от v 1 до v 2 , крайне важно определить площадь под соответствующим участком кривой (рис.1.3.2.)
При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и вид кривой изменяется. Распределения для двух разных температур приведены на рис.1.3.3. Поскольку площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, следовательно, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.
Рис.1.3.3 Т 1 < Т.
Среднее значение абсолютной величины скорости (среднее значение скорости равно нулю, так как отрицательное и положительное значения компонент равноправны) определяется по формуле
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, скорости, характеризующие состояние газа:
1) наиболее вероятная ;
2) средняя скорость ;
3) средняя квадратичная .
Эти скорости связаны соотношением
v В: ávñ: áv кв ñ @1:1,13:1,22,
то есть средняя квадратичная скорость имеет наибольшую величину.
Исходя их распределения молекул по скоростям, перейдя к новой переменной Е=m 0 v 2 /2, можно получить функцию распределения молекул по энергиям
Тогда средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа равна
Для того, чтобы рассчитать количество молекул DN, скорости которых находятся в промежутке от v до v+Dv, удобно ввести относительную скорость u=v/v В, где v В - наиболее вероятная скорость. Тогда DN - число молекул, относительные скорости которых находятся в интервале u, u+Du, ᴛ.ᴇ. v/v в, v+Dv/v В, где должно быть Dvv. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, имеем
где N - полное число молекул газа, DN/N - относительное число (доля) молекул, имеющих скорости в интервале u, u+Du. График этой зависимости соответствует рис.1.3.2, в случае если по оси абсцисс отложить u, а по оси ординат величину DN/(NDu) - функцию распределения.
Пример7. Определить среднеквадратичную скорость молекул азота при температуре 27°С. Как зависит средне квадратичная скорость от молекулярной массы и температуры?
Т=300°К, m=28 кг/кмоль, k=1,38×10 -23 Дж/град.
Решение. где ;
Таким образом
Средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярной массы.
Распределение Максвелла - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Распределение Максвелла" 2017, 2018.
В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, например в некотором объеме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение... .
Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое... .
Теперь, когда мы определились, какую же величину будем искать, давайте воспользуемся довольно часто используемым в физике приёмом. Мы попытаемся “угадать” искомое распределение. А проверку того, что мы угадали правильно, мы получим, сравнивая результаты нашей... .
В состоянии теплового равновесия частицы идеального газа имеют различные скорости, которые меняются и результате столкновений. На вопрос какова вероятность того, что частица обладает определенной скоростью, отвечает распределение Максвелла. Оно является частным... .
О т в е т ы 4.1. а) 4 % б) 4.2. 1.4× 4.3. а) . б) г) 4.4. а) б) г) В состоянии теплового равновесия частицы идеального газа имеют различные скорости, которые меняются и результате столкновений. На вопрос какова вероятность того, что частица обладает определенной...
Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого... .
Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как: поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат... .
Предположим, что нам удалось измерить скорости всех молекул газа в некоторый момент времени, т.е. получить v1, v2, ... ,vN. Нанесем их на ось скоростей в виде точек. Как видно из рис. 8.3, распределение точек на оси не будет равномерным – в области больших и малых скоростей они... .
