Космическая скорость км ч. Вывод формулы первой космической скорости

Что такое искусственные спутники Земли?

Какое назначение они имеют?

Вычислим скорость, которую надо сообщить искусственному спутнику Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над Землёй.

На больших высотах воздух сильно разрежен и оказывает незначительное сопротивление движущимся в нём телам. Поэтому можно считать, что на спутник массой m действует только гравитационная сила , направленная к центру Земли (рис. 3.8).

Согласно второму закону Ньютона m цс = .

Центростремительное ускорение спутника определяется формулой где h - высота спутника над поверхностью Земли. Сила же, действующая на спутник, согласно закону всемирного тяготения определяется формулой где M - масса Земли.

Подставив найденные выражения для F и а в уравнение для второго закона Ньютона, получим

Из полученной формулы следует, что скорость спутника зависит от его расстояния от поверхности Земли: чем больше это расстояние, тем с меньшей скоростью он будет двигаться по круговой орбите. Примечательно то, что эта скорость не зависит от массы спутника. Значит, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить определённую скорость. В частности, при h = 2000 км = 2 10 6 м скорость υ ≈ 6900 м/с.

Подставив в формулу (3.7) значение G и значения величин М и R для Земли, можно вычислить первую космическую скорость для спутника Земли:

υ 1 ≈ 8 км/с.

Если такую скорость сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности Земли, то при отсутствии атмосферы оно станет искусственным спутником Земли, обращающимся вокруг неё по круговой орбите.

Такую скорость спутникам способны сообщать только достаточно мощные космические ракеты. В настоящее время вокруг Земли обращаются тысячи искусственных спутников.

Любое тело может стать искусственным спутником другого тела (планеты), если сообщить ему необходимую скорость.

Вопросы к параграфу

1. Что определяет первую космическую скорость?

2. Какие силы действуют на спутник любой планеты?

3. Можно ли сказать, что Земля - спутник Солнца?

4. Выведите выражение для периода обращения спутника планеты.

5 Как изменяется скорость космического корабля при входе в плотные слои атмосферы? Нет ли противоречий с формулой (3.6)?

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Рассмотрим движение тела в неинерциальной системе отсчета - относительно Земли.

В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения.

где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10 −11 м?·кг −1 ·с −2),

Первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли 7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R?, то

Втора?я косми?ческая ско?рость - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него.

Запишем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты. Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G -гравитационная постоянная, v 2 - вторая космическая скорость.

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке:

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 15. Вывод формул для 1-й и 2-й космических скоростей.:

1. Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.
2. 14. Вывод третьего закона Кеплера для кругового движения
3. 1. Скорость элиминации. Константа скорости элиминации. Время полуэлиминации
4. 7.7. Формула Релея-Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка
5. 13. Космическая и авиационная геодезия. Особенности зондирования в водной среде. Системы машинного зрения ближнего радиуса действия.
6. 18. Этический аспект культуры речи. Речевой этикет и культура общения. Формулы речевого этикета. Этикетные формулы знакомства, представления, приветствия и прощания. «Ты» и «Вы» как формы обращения в русском речевом этикете. Национальные особенности речевого этикета.

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

«Физика - 10 класс»

Для решения задач требуется знать закон всемирного тяготения, закон Ньютона, а также связь линейной скорости тел с периодом их обращения вокруг планет. Обратите внимание на то, что радиус траектории спутника всегда отсчитывается от центра планеты.

Задача 1.

Вычислите первую космическую скорость для Солнца. Масса Солнца 2 10 30 кг, диаметр Солнца 1,4 10 9 м.

Р е ш е н и е.

Спутник движется вокруг Солнца под действием единственной силы - силы тяготения. Согласно второму закону Ньютона запишем:

Из этого уравнения определим первую космическую скорость, т. е. минимальную скорость, с которой надо запустить тело с поверхности Солнца, чтобы оно стало его спутником:

Задача 2.

Вокруг планеты на расстоянии 200 км от её поверхности со скоростью 4 км/с движется спутник. Определите плотность планеты, если её радиус равен двум радиусам Земли (R пл = 2R 3).

Р е ш е н и е.

Планеты имеют форму шара, объём которого можно вычислить по формуле тогда плотность планеты

Определите среднее расстояние от Сатурна до Солнца, если период обращения Сатурна вокруг Солнца равен 29,5 лет. Масса Солнца равна 2 10 30 кг.

Р е ш е н и е.

Считаем, что Сатурн движется вокруг Солнца по круговой орбите. Тогда согласно второму закону Ньютона запишем:

где m - масса Сатурна, r - расстояние от Сатурна до Солнца, М с - масса Солнца.

Период обращения Сатурна отсюда

Подставив выражение для скорости υ в уравнение (4), получим

Из последнего уравнения определим искомое расстояние от Сатурна до Солнца:

Сравнив с табличными данными, убедимся в правильности найденного значения.

Источник: «Физика - 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Динамика - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует нашей планеты. Почему так происходит? Почему Луне не грозит упасть на Землю, а Земля не движется навстречу к Солнцу? Неужели на них не действует всемирное тяготение?

Из школьного курса физики мы знает, что всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной. Ее действие легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». В двух словах ее можно описать как скорость, позволяющую любому объекту преодолеть тяготение небесного тела. В качестве может выступать планета, ее или другая система. Космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. К слову сказать, размер и форма орбиты зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость бывает четырех видов. Самая меньшая из них - это первая. Это наименьшая скорость, которая должна быть у чтобы он вышел на круговую орбиту. Ее значение можно определить по такой формуле:

V1=√µ/r, где

µ - геоцентрическая гравитационная постоянная (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r — расстояние от точки запуска до центра Земли.

Из-за того, что форма нашей планеты не является идеальным шаром (на полюсах она как бы немного приплюснута), то расстояние от центра до поверхности больше всего на экваторе - 6378,1 . 10(3) м, а меньше всего на полюсах - 6356,8 . 10(3) м. Если взять среднюю величину - 6371 . 10(3) м, то получим V1 равной 7,91 км/с.

Чем больше космическая скорость будет превышать данную величину, тем более вытянутую форму будет приобретать орбита, удаляясь от Земли на все большее расстояние. В какой-то момент эта орбита разорвется, примет форму параболы, и космический аппарат отправится бороздить космические просторы. Для того чтобы покинуть планету, у корабля должна быть вторая космическая скорость. Ее можно рассчитать по формуле V2=√2µ/r. Для нашей планеты эта величина равна 11,2 км/с.

Астрономы давно уже определили, чему равна космическая скорость, как первая, так и вторая, для каждой планеты нашей родной системы. Их несложно рассчитать по вышеприведенным формулам, если заменить константу µ на произведение fM, в котором M - масса интересующего небесного тела, а f - постоянная тяготения (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третья космическая скорость позволит любому преодолеть тяготение Солнца и покинуть родную Солнечную систему. Если рассчитывать ее относительно Солнца, то получится значение 42,1 км/с. А для того чтобы с Земли выйти на околосолнечную орбиту, понадобится разогнаться до 16,6 км/с.

Ну и, наконец, четвертая по счету космическая скорость. С ее помощью можно преодолеть притяжение непосредственно самой галактики. Ее величина варьируется в зависимости от координат галактики. Для нашего эта величина составляет примерно 550 км/с (если рассчитывать относительно Солнца).