Геометрический центр масс. Центр масс тела. Равновесие. Масса тела

В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...

Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .

Синий шрифт – это исходные данные .

Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .

Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2= 40,000

xc 1 = a 1 /2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc 1 = b 1 /2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc 2 = a 2 /2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

в ячейку F4: =50=50,000

xc 3 = x 03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F 1 = a 1 * b 1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2 = a2 *h2 /2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3 = -π/2*r3 ^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F 0 = F 1 + F 2 + F 3

5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc = Sy / F 0

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc =Sx /F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.

Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.

После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!

Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Существует множество различных конструкций и сооружений, смотря на которые, удивляешься, как они сохраняют равновесие. Самое, пожалуй, известное из них – знаменитая Пизанская башня, построенная ещё в 1360 году и сохраняющая свой непреднамеренный наклон. Почему же Пизанская башня сохраняет равновесие? Секрет прост. Вертикальная проекция центра масс башни находится на её основании. Это справедливо и для любого другого сооружения. Кроме того, если какой-либо предмет подвесить за точку, которая совпадает с центром масс, то подвешенный предмет тоже будет сохранять равновесие. Можно также собирать из различных предметов конструкции самой причудливой формы, которые будут находиться в равновесии, если правильно рассчитать местоположение центра масс. Давайте попробуем разобраться, как рассчитывать координаты центра масс различных плоских фигур.

Предположим, что Вы решили сделать новогоднюю гирлянду, состоящую из различных фигур, в том числе в форме стрелки. Сначала нужно вырезать из плотной бумаги с новогодним рисунком равнобедренный треугольник. Потом нужно сделать вырез тоже в форме равнобедренного треугольника так, чтобы центр масс получившейся фигуры оказался в точке В (см.рисунок). Найдем координаты x c и y c центра масс этой фигуры в прямоугольной системе координат yOx .

Положение центра масс плоских фигур известно: центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан, центр масс прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, центр масс круга совпадает с его центром. Так как треугольник ACD – равнобедренный, то, исходя из его симметрии относительно прямой ОА , следует, что x c = 0 .

Для расчета координаты y c воспользуемся следующей формулой:

где S ΔACD и S ΔBCD – площади треугольников ACD и BCD , а y c 1 и y c 2 – координаты их центров масс, соответственно. Тогда:

Учитывая, что центр масс должен находиться в точке B , получаем:

|OB | = ½ |OA | . То есть точка B – середина отрезка |OA |.

По предложенному методу мы предлагаем вам решить задачу:

Рассчитайте координаты центра масс круга радиуса R с вырезанным кругом радиуса r (см. рисунок). Определите, каким должен быть отношение радиусов R и r , чтобы центр масс фигуры находился в точке B . Проанализируйте результат.

(хотя чаще всего совпадает).

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом :

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

  где r → c {\displaystyle {\vec {r}}_{c}} - радиус-вектор центра масс, r → i {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} - радиус-вектор i -й точки системы, m i {\displaystyle m_{i}} - масса i -й точки.

  Для случая непрерывного распределения масс:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , {\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,} M = ∫ V ρ (r →) d V , {\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

  где M {\displaystyle M} - суммарная масса системы, V {\displaystyle V} - объём, ρ {\displaystyle \rho } - плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

  Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i {\displaystyle M_{i}} , то радиус-вектор центра масс такой системы R c {\displaystyle R_{c}} связан с радиус-векторами центров масс тел R c i {\displaystyle R_{ci}} соотношением :

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . {\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

  Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

  Центры масс плоских однородных фигур

  Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа - Гульдина):

  x s = V y 2 π S {\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}} и y s = V x 2 π S {\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}} , где V x , V y {\displaystyle V_{x},V_{y}} - объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S {\displaystyle S} - площадь фигуры.

  Центры масс периметров однородных фигур

  Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

  Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . {\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.} вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

  В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

  По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

  Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

  В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

  , , . (1)

  В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки С (x C , y C , z C) действительно харак­теризует распределение масс в теле или в любой механической си­стеме, если под , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

  Геометрическая точка С , координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

  Положение центра масс определяется его радиус-вектором

  где - радиус-векторы точек, образующих систему.

  Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тя­жести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя­жести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находя­щегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная си­стема под действием каких-нибудь сил или нет.

  Момент инерции тела относительно оси. Радиус инер­ции.

  Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис.32), если расстояния h от оси Oz каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение вокруг оси Oz при прочих равных условиях будет происходить медленнее).

  

  Рис.32

  Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распре­деления масс - момент инерции. Моментом инерциитела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

  Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

  Заметим также, что момент инерции тела – это геометрическая характеристика тела, не зависящая от его движения.

  
  

  Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является ме­рой инертности тела при вра­щательном движении.

  Согласно формуле момент инерции тела равен сумме момен­тов инерции всех его частей от­носительно той же оси. Для од­ной материальной точки, нахо­дящейся на расстоянии h от оси, .

  Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина , определяемая равенством

  где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

  В случае сплошного те­ла, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве , обратится в интеграл. В результате, учи­тывая, что , где - плотность, а V- объем, получим

  Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела.

  Моменты инерции некоторых однородных тел:

  1.Тонкий однородный стержень длины l и массы М. Вычислим его момент инерции относи­тельно оси Аz, перпендикулярной к стержню и прохо­дящей через его конец А (рис. 33).

  Рис.33

  Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h=x, а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате

  

  Заменяя здесь его значением, найдем окончательно:

  2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса R и массы М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис.34,а). Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии h k =R, то

  Следовательно, для кольца

  Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относитель­но ее оси.

  3. Круглая однородная пластина или цилиндр ра­диуса R и массы М. Вычислим момент инерции круглой пла­стины относительно оси Сz, перпендикулярной к пластине и прохо­дящей через ее центр (см. рис.34,а ). Для этого выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr (рис.34,б ).

  Центром тяжести (или центром масс ) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

  Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

  В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта . Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

  Двумерный случай: многоугольники

  На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач :

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

  Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

  Центр масс системы точек

  Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

  где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

  В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

  

  Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

  

  и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

  Центр масс каркаса

  Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

  Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

  

  где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

  Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

  Центр масс сплошной фигуры

  Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

  Случай треугольника

  Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид , т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

  

  Случай треугольника: доказательство

  Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

  Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".

  Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

  Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

  

  Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

  Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

  

  Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

  

  Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

  Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

  Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

  

  Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

  

  откуда находим:

  Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

  Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

  Случай многоугольника

  Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника . Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

  Окончательная формула получается следующей:

  

  где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

  Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

  Случай многоугольника: альтернативный способ

  С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников , поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

  

  где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

  Трёхмерный случай: многогранники

  Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

  Центр масс системы точек

  Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

  который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

  Центр масс каркаса многогранника

  Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

  Центр масс поверхности многогранника

  Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

  Центр масс сплошного многогранника

  Случай тетраэдра

  Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

  Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

  Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

  Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом . Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

  

  (это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

  Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

  Случай произвольного многогранника

  Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

  Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.