Главная » Учет в ГИБДД » Периодичность функций у = sin х, у = cos х — Гипермаркет знаний

Периодичность функций у = sin х, у = cos х — Гипермаркет знаний

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

2π n, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.

>> Периодичность функций у = sin х, у = cos х

§ 11. Периодичность функций у = sin х, у = cos х

В предыдущих параграфах мы использовали семь свойств функций : область определения, четность или нечетность, монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность, область значений функции. Использовали мы эти свойства либо для того, чтобы построить график функции (так было, например, в § 9), либо для того, чтобы прочитать построенный график (так было, например, в § 10). Теперь настал благоприятный момент для введения еще одного (восьмого) свойства функций, которое прекрасно просматривается на построенных выше графиках функций у = sin х(см. рис. 37), у=соs х(см. рис. 41).

Определение. Функцию называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого х из множествах выполняется двойное равенство :

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции у = f(х).
Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы равенства:

то функции у = sin х, у=соs х являются периодическими и число 2п служит периодом и той, и другой функции.
Периодичность функции - это и есть обещанное восьмое свойство функций.

А теперь посмотрите на график функции у = sin х (рис. 37). Чтобы построить синусоиду, достаточно построить одну ее волну (на отрезке а затем сдвинуть эту волну по оси х на В итоге с помощью одной волны мы построим весь график.

Посмотрим с этой же точки зрения на график функции у =соs х (рис. 41). Видим, что и здесь для построения графика достаточно сначала построить одну волну (например, на отрезке

А затем сдвинуть ее по оси х на
Обобщая, делаем следующий вывoд.

Если функция у = f(х) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т (чаще всего берут промежуток с концами в точках а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, ЗТ и т.д.
У периодической функции бесконечно много периодов: если Т - период, то и 2Т - период, и ЗТ - период, и -Т - период; вообще периодом является любое число вида KТ, где к = ±1, ±2, ± 3... Обычно стараются, если это возможно, выделить наименьший положительный период, его называют основным периодом.
Итак, любое число вида 2пк, где к = ±1, ± 2, ± 3,является периодом функций у = sinп х, у=соs х; 2п- основной период и той, и другой функции.

Пример. Найти основной период функции:

а) Пусть Т - основной период функции у = sin х. Положим

Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество Но, поскольку речь идет об отыскании основного периода, получаем
б) Пусть Т - основной период функции у =соs 0,5х. Положим f(х)=соs 0,5х. Тогда f(х + Т)=соs 0,5(х + Т)=соs (0,5х + 0,5Т).

Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значит, 0,5т = 2пп. Но, поскольку речь идет об отыскании основного периода, получаем 0.5Т = 2 л, Т =4л.

Обобщением результатов, полученных в примере, является следующее утверждение: основной период функции

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку периодически повторяется, то должна повторяться . Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.

Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете функции по горизонтали именно в столько раз

Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов , то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Источники:

Теоретические сведения о функциях

Многие математические функции имеют одну особенность, облегчающую их построение, - это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные промежутки.

Инструкция

Самыми известными периодическими функциями математики синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный и основной период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит любое число, основного периода данная функция не имеет, так как представляет собой прямую.

Вообще функция является периодической, если существует целое число N, которое от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции - это и есть наименьшее число N, но не ноль. То есть, например, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.

Иногда при функции может множитель (например sin 2x), который увеличит или сократит период функции. Для того чтобы найти период по

С центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

	y = sin x	y = cos x
Область определения и непрерывность	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1