Главная » Права » Нахождение длины поезда. Задачи на движение протяженных тел

Нахождение длины поезда. Задачи на движение протяженных тел

Касательная к окружности. Дорогие друзья! В состав базы заданий ЕГЭ по математике входит группа задач, где в условии речь идёт о касательной и ставится вопрос о вычислении угла. Задачи эти чрезвычайно просты. Немного теории:

Что такое касательная к окружности?

Важно помнить одно основное свойство касательной:

В представленных задачах используются ещё два свойства связанные с углами:

1. Сумма углов четырёхугольника равна 360 0 , подробнее .

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

Рассмотрим задачи:

27879. Через концы A и B дуги окружности в 62 0 проведены касательные AC и BC . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Сказано, что градусная мера дуги АВ соответствует 62 градусам, то есть угол АОВ равен 62 0 .

Первый способ.

Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 360 0 .

Второй способ.

В треугольнике АВС мы можем найти углы АВС и ВАС. Воспользуемся свойством касательной.

Так как ВС это касательная, то угол ОВС равен 90 0 , значит:

Аналогично

В равнобедренном треугольнике АОВ:

Значит

По теореме о сумме углов треугольника:

Ответ: 118 0

27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB , равный 122 0 . Найдите величину меньшей дуги AB , стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Задача обратная предыдущей. Необходимо найти угол АОВ.

Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:

Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 360 0 .

В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:

Ответ: 58

27882. Угол ACO равен 28 0 , где O - центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Градусная величина дуги соответствует углу АОС. То есть задача сводится к нахождению угла АОС в прямоугольном треугольнике ОСА. Треугольник является прямоугольны, так как АС касательная, а угол между касательной и радиусом проведённым к точке касания равен 90 градусам.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90 0 , значит:

Ответ: 62

27883. Найдите угол ACO , если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116 0 . Ответ дайте в градусах.

Сказано, что дуга AD окружности, заключенная внутри угла АСО, равна 116 0 , то есть угол DOA равен 116 0 . Треугольник ОСА прямоугольный.

Углы АОС и DOA смежные, то есть их сумма равна 180 0 , значит:

Искомый угол равен:

Ответ: 26

Прототип Задания B14 (№99609 )

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

Пусть x (м)- длина поезда.

Поезд, проехав лесополосу, проходит расстояние, равное сумме длины лесополосы и длины поезда, т.е. (x+400) метров.

(x+400) метров = ((x/1000)+0,4) км,

1 минута = 1/60 часа,

так как поезд проезжает лосополосу за 1 минуту, то составим и решим уравнение:

1/60 * 60 = (x/1000)+0,4,

(x/1000)+0,4 = 1,

Т.е. длина поезда равна 600 метров.

Ответ: 600.

Прототип Задания B14 (№99608 )

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

Пусть x (м) - длина поезда. Поезд проезжает расстояние, равне своей длине, т.е. x метров = x/1000 км. Так как по условию задачи он проезжает это расстояние за 36 секунд = 36/3600 часа = 0,01 часа, то составим и решим уравнение:

80*0,01 = x/1000,

Т.е. длина поезда равна 800 метров.

Ответ: 800.

Прототип Задания B14 (№99607 )

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Т.е. средняя скорость на протяжении всего пути равна 72 км/ч.

Прототип Задания B14 (№99606 )

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна: весь путь разделить на все время, т.е.

Т.е. средняя скорость на протяжении всего пути равна 70 км/ч.

Прототип Задания B14 (№99605 )

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна: весь путь разделить на все время, т.е.

Т.е. средняя скорость на протяжении всего пути равна 88 км/ч.

Прототип Задания B14 (№99604 )

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Средняя скорость на протяжении всего пути равна: весь путь разделить на все время, т.е

t1 = s/20 - время, за которое путешественник переплыл море на яхте,

t2 = s/480 - время, за которое путешественник летел обратно на самолете.

t = t1+t2 = s/20+s/480 = 5s/96,

средняя скорость будет равна:

v = (2S):(5s/96) = (2*96)/5 = 192/5 = 38,4 (км/ч).

Ответ: 38,4.

Прототип задания B14 (Лысенко, 2013, №386)

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

Задачи на движение протяженных тел

В задачах на движение протяженных тел обычно требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации, предлагаемые в таких задачах, - определить длину поезда проезжающего мимо:

придорожного столба;

идущего параллельно путям пешехода;

лесополосы определенной длины;

другого двигающегося поезда.

Помним, что во всех задачах на движение используется только одна формула: это формула пути

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине. Обозначим:

l – длина поезда,

v – скорость поезда,

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы (платформы), то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы. Обозначим:

l 1 – длина поезда,

l 2 – длина лесополосы (платформы),

v – скорость поезда,

Если поезд движется мимо движущегося человека, то учитываем направление движения человека. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей. Обозначим:

l – длина поезда,

v 1 – скорость поезда,

v 2 – скорость человека,

В одну сторону:

В разные стороны:

Если поезд движется мимо движущегося поезда, то учитываем направление движения второго поезда. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей. Обозначим:

l 1 – длина первого поезда,

l 2 – длина второго поезда,

v 1 – скорость первого поезда,

v 2 – скорость второго поезда,

В одну сторону:

В разные стороны:

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1 . Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение :

v = 60 км/ч = 1000 м/мин, t = 30 сек. = 1/2 мин. Длину поезда находим как пройденное расстояние:

Ответ: 500 метров.

Задача 2 . Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение :

v = 90 км/ч = 1500 м/мин, t = 1 мин. Тогда пройденное поездом расстояние:

Это собственная длина поезда плюс длина лесополосы. Длина поезда равна: 1500 – 800 = 700 (м).

Ответ: 700 метров.

Задача 3 . По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение : Так как поезда двигаются в одном направлении, их относительная скорость равна:

v = 90 – 30 = 60 км/ч =

За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние:

Это длина пассажирского и товарного поездов. Тогда длина пассажирского поезда равна:

1000 – 600 = 400 (м).

Ответ: 400 метров.

Задача 4 . По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение : Так как поезда двигаются в противоположных направлениях, их относительная скорость равна:

v = 65 + 35 = 100 км/ч =

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние:

Это расстояние, равное сумме длин обоих поездов. Значит, длина скорого поезда равна:

1000 – 700 = 300 (м).

Ответ: 300 метров.

Задача 5 . Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд, а мимо платформы длиной 378 метров – за 25 секунд. Найдите длину поезда.

Решение : Из первого условия следует, что за 7 секунд поезд проедет расстояние, равное собственной длине поезда. За 25 же секунд ему надо проехать собственно саму длину платформы, т.е. 378 метров и ещё надо «вытащить» головной вагон вперед на расстояние, равное длине поезда.

1) 25 – 7 = 18 (с) – время, за которое поезд проехал 378 м

2) 378: 18 = 21 (м/с) – скорость поезда

Ответ: 144 м.

Задача 6 . По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и скорый поезда. Скорый поезд, двигаясь со скоростью 120 км/ч, догнал пассажирский поезд и прошёл мимо него за 100 секунд. Найдите скорость пассажирского поезда, если его длина составляет 800 метров, а длина скорого поезда – 700 метров. Ответ дайте в км/ч.

Решение : Считаем, что пассажирский поезд неподвижен, а скорый приближается к нему со скоростью, равной разности скоростей поездов.

1) 700 + 800 = 1500 (м) – прошёл скорый поезд за 100 секунд

2) 1500: 100 = 15 (м/с) – разность скоростей (скорость вдогонку)

15 м/с = км/ч = 54 км/ч

3) 120 – 54 = 66 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

Ответ: 66 км/ч.

Задача 7 . По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй - длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 1000 метров. Через 16 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 400 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение: Пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на

1000 + 110 + 90 + 400 = 1600 (м).

Пусть v - разность скоростей сухогрузов, тогда

v = 1600: 16 = 100 м/мин = 6 км/ч.

Более 80000 реальных задач ЕГЭ 2019 года

Вы не залогинены в системе « ». Это не мешает просматривать и решать задания Открытого банка задач ЕГЭ по математике , но для участия в соревновании пользователей по решению этих заданий .

Результат поиска заданий ЕГЭ по математике по запросу:
«найдите длину поезда » — найдено 697 заданий

Задание B14 ()

(показов: 625 , ответов: 11 )

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Задание B14 ()

(показов: 589 , ответов: 11 )

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1100 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам 42 секундам. Ответ дайте в метрах.