Главная » Техосмотр, ПТС, СТС » Формулы параллелограмма что означают буквы. Параллелограмм и его свойства

Формулы параллелограмма что означают буквы. Параллелограмм и его свойства

У которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник , квадрат и ромб .

Свойства

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: $\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|$ .
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а - длина стороны AB, b - длина стороны BC, $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей; тогда $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника : учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей . У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB = CD, AB \parallel CD$ .
Все противоположные углы попарно равны: $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$ .
У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB = CD, BC=DA$ .
Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD, BC \parallel DA$ .
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO = OC, BO = OD$ .
Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ$ .
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ .

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников .

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S = ah$ , где $a$ - сторона, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$S = ab\sin \alpha$ , где $a$ и $b$ - стороны, а $\alpha$ - угол между сторонами a и b.

См. также

Напишите отзыв о статье "Параллелограмм"

Примечания

По числу сторон

Правильные

Треугольники

Четырёхугольники

См. также

Отрывок, характеризующий Параллелограмм

– Доктор говорит, что нет опасности, – сказала графиня, но в то время, как она говорила это, она со вздохом подняла глаза кверху, и в этом жесте было выражение, противоречащее ее словам.
– Где он? Можно его видеть, можно? – спросила княжна.
– Сейчас, княжна, сейчас, мой дружок. Это его сын? – сказала она, обращаясь к Николушке, который входил с Десалем. – Мы все поместимся, дом большой. О, какой прелестный мальчик!
Графиня ввела княжну в гостиную. Соня разговаривала с m lle Bourienne. Графиня ласкала мальчика. Старый граф вошел в комнату, приветствуя княжну. Старый граф чрезвычайно переменился с тех пор, как его последний раз видела княжна. Тогда он был бойкий, веселый, самоуверенный старичок, теперь он казался жалким, затерянным человеком. Он, говоря с княжной, беспрестанно оглядывался, как бы спрашивая у всех, то ли он делает, что надобно. После разорения Москвы и его имения, выбитый из привычной колеи, он, видимо, потерял сознание своего значения и чувствовал, что ему уже нет места в жизни.
Несмотря на то волнение, в котором она находилась, несмотря на одно желание поскорее увидать брата и на досаду за то, что в эту минуту, когда ей одного хочется – увидать его, – ее занимают и притворно хвалят ее племянника, княжна замечала все, что делалось вокруг нее, и чувствовала необходимость на время подчиниться этому новому порядку, в который она вступала. Она знала, что все это необходимо, и ей было это трудно, но она не досадовала на них.
– Это моя племянница, – сказал граф, представляя Соню, – вы не знаете ее, княжна?
Княжна повернулась к ней и, стараясь затушить поднявшееся в ее душе враждебное чувство к этой девушке, поцеловала ее. Но ей становилось тяжело оттого, что настроение всех окружающих было так далеко от того, что было в ее душе.
– Где он? – спросила она еще раз, обращаясь ко всем.
– Он внизу, Наташа с ним, – отвечала Соня, краснея. – Пошли узнать. Вы, я думаю, устали, княжна?
У княжны выступили на глаза слезы досады. Она отвернулась и хотела опять спросить у графини, где пройти к нему, как в дверях послышались легкие, стремительные, как будто веселые шаги. Княжна оглянулась и увидела почти вбегающую Наташу, ту Наташу, которая в то давнишнее свидание в Москве так не понравилась ей.
Но не успела княжна взглянуть на лицо этой Наташи, как она поняла, что это был ее искренний товарищ по горю, и потому ее друг. Она бросилась ей навстречу и, обняв ее, заплакала на ее плече.
Как только Наташа, сидевшая у изголовья князя Андрея, узнала о приезде княжны Марьи, она тихо вышла из его комнаты теми быстрыми, как показалось княжне Марье, как будто веселыми шагами и побежала к ней.
На взволнованном лице ее, когда она вбежала в комнату, было только одно выражение – выражение любви, беспредельной любви к нему, к ней, ко всему тому, что было близко любимому человеку, выраженье жалости, страданья за других и страстного желанья отдать себя всю для того, чтобы помочь им. Видно было, что в эту минуту ни одной мысли о себе, о своих отношениях к нему не было в душе Наташи.
Чуткая княжна Марья с первого взгляда на лицо Наташи поняла все это и с горестным наслаждением плакала на ее плече.
– Пойдемте, пойдемте к нему, Мари, – проговорила Наташа, отводя ее в другую комнату.
Княжна Марья подняла лицо, отерла глаза и обратилась к Наташе. Она чувствовала, что от нее она все поймет и узнает.

Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Теорема доказана .

Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство .
Аналогично,

Теорема доказана .

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство .

Теорема доказана .

Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство .

Теорема доказана .

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH - требуемый угол.
)

Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.

Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство - рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.

Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.

Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны между собой, по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=CD так как это противоположные стороны параллелограмма. А угол1 = угол2 и угол3 = угол4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что и требовалось доказать.

Все основные свойства проиллюстрированы на следующих трех рисунках.

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны.

Первым делом проведем диагональ $AC $ . Получаются два треугольника: $ABC $ и $ADC $ .

Так как $ABCD $ - параллелограмм, то справедливо следующее:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $ как лежащие накрест.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 $ как лежащие накрест.

Следовательно, (по второму признаку: и $AC $ - общая).

И, значит, $\triangle ABC = \triangle ADC $ , то $AB = CD $ и $AD = BC $ .

2. Противоположные углы тождественны.

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 $ . Таким образом сумма противоположных углов равна: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $ . Учитывая, что $\triangle ABC = \triangle ADC $ получаем $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: $AB = CD $ . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что $\triangle AOB = \triangle COD $ по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, $BO = OD $ (напротив углов $\angle 2 $ и $\angle 1 $ ) и $AO = OC $ (напротив углов $\angle 3 $ и $\angle 4 $ соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

$AB = CD $ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

Рассмотрим подробнее. Почему $AD || BC $ ?

$\triangle ABC = \triangle ADC $ по свойству 1 : $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ как накрест лежащие при параллельных $AB $ и $CD $ и секущей $AC $ .

Но если $\triangle ABC = \triangle ADC $ , то $\angle 3 = \angle 4 $ (лежат напротив $AD || BC $ ($\angle 3 $ и $\angle 4 $ - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ $AC $ .

По свойству 1 $\triangle ABC = \triangle ACD $ .

Из этого следует, что: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $ и $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $ , то есть $ABCD $ - параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

$\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD $ - параллелограмм.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} $ (поскольку $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ по условию).

Получается, $\alpha + \beta = 180^{\circ} $ . Но $\alpha $ и $\beta $ являются внутренними односторонними при секущей $AB $ .

Просмотров