Главная » Пдд » Формула n-го члена арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

Первый элемент последовательности;

Пятый элемент последовательности;

- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например, , то

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность ,

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.

Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .

Например, 2; 5; 8; 11;...

Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .

Например, 2; -1; -4; -7;...

Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .

Например, 2;2;2;2;...

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

, и в то же время

Сложив эти два равенства, получим:

Разделим обе части равенства на 2:

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

, и в то же время

, то

, и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

и, наконец,

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно:

Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.

Получаем:

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .

1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что ;

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае

В нашем случае , поэтому

Примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию взяты из "Сборника задач для абитуриентов. Математика" изданного Волынским государственным университетом имени Леси Украинки в 2001 году. Внимательно ознакомьтесь с ответами и выберите для себя самое необходимое.

Группа А (уровень 1)

Пример 1. Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; … ,
Решение: Найдем разницу (шаг) прогрессии
d=a 2 -a 1 =22,4-21,3=1,1.
Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии
a 6 =a 1 +(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.

Пример 2. Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20; ...
Решение: Найдем знаменатель геометрической прогрессии
q=b 2 /b 1 =10/5=2.
Вычисляем шестой член геометрической прогрессии
b 6 =b 1 q 6-1 =5*25=5*32=160.

Пример 3. В арифметической прогрессии a 1 =2,1 a 10 =12,9 . Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Представим десятый член прогрессии в виде формулы
a 10 =a 1 +(10-1)d= a 1 +9d .
Подставим известные значения и решим
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Ответ: разница прогрессии d=1,2.

Пример 4. В геометрической прогрессии b 1 =2,56; b 4 =4,42368. Вычислить знаменатель прогрессии.
Решение: Находим знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =4,42368/2,56=1,728.
Без калькулятора здесь не обойтись.
Ответ: знаменатель прогрессии равен q=1,728.

Пример 5. В арифметической прогрессии a 1 =20,1, d=1,3 . Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение: Cуму арифметической прогрессии находим по формуле

Выполняем вычисления
S 8 =(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Ответ: S 8 =197,2 .

Пример 6 . В геометрической прогрессии b 1 =1,5; q=1,2 . Вычислить сумму первых четырех членов прогрессии.
Решение: Cуму геометрической прогрессии вычисляем по формуле

Находим сумму прогрессии

Ответ: S 8 =8,052.

Пример 7 . В арифметической прогрессии a 1 =1,35 d=-2,4 . Вычислить номер члена прогрессии, равный -25,05.
Решение: Член арифметической прогрессии находят по формуле
a n =a 1 +(n-1)d.
По условию задано все кроме порядкового номера известно, найдем его
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4) ;

Ответ: n=12.

Пример 8. Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; ...
Решение: Поскольку в условии не задано какая прогрессия задана, то сначала нужно ето установить. Получите, что арифметическая
d=a 2 -a 1 =24,82-23,5=1,32;
d=a 3 -a 2 =26,14-24,82=1,32.
Находим седьмой член прогрессии
a 7 =a 1 +(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Ответ: a 7 = 31,42.

Пример 9. Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; ... , равный 11,7 .
Решение: Легко убедиться, что задана арифметическая прогрессия. Найдем разницу прогрессии
d=a 2 -a 1 =3,3-2,1=1,2.
По формуле члена прогрессии
a n =a 1 +(n-1)d
найдем номер
11,7=2,1+(n-1)*1,2;

Ответ: n= 9 .

Пример 10. Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; ... .
Решение: Без проверки можно сказать, что прогрессия - геометрическая. Найдем ее знаменатель
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,5=1,2.
Вычислим 4 член геометрической прогрессии по формуле
b 4 =b 1 q 3 =1,5*1,2 3 =2,592.
Ответ: b 4 =2,592 .

Пример 11. Вычислить номер члена прогрессии 1,2; 1,8; 2,16; ... равный 4,05.
Решение: Имеем геометрическую прогрессию. Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =1, 8/1,2=1,5.
Найдем номер прогресии из зависимости
b n =b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5 n-1 ;
1,5 n-1 =4,05/1,2=3,375=1,5 3 ;
n-1=3; n=4.
Ответ: n=4.

Пример 12. В арифметической прогрессии a 5 =14,91 a 9 =20,11. Вычислить a 1 .
Решение: Выразим 9 член прогрессии через 5
a 9 = a 5 +(9-5)d
и найдем шаг прогрессии
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Выразим 5 член прогрессии через 1 и вычислим первый
a 5 = a 1 +4d;
14,91= a 1 +5,2;
a 1 =14,91-5,2=9,71.
Ответ: a 1 =9,71.

Пример 13 . В арифметической прогрессии а 7 =12,01; a 11 =17,61. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Выразим 11 член прогрессии через 7
a 11 = a 7 +(11-7)d.
Отсюда вычислим шаг прогрессии
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Ответ: d=1,4.

Пример 14. В геометрической прогрессии b 5 =64; b 8 =1. Вычислить b 3 .
Решение: Выразим 8 член прогрессии через 5
b 8 = b 5 q 8-5 .
Отсюда находим знаменатель прогрессии
1=64 q 3 ;
q 3 =1/64=(1/4) 3 ;
q=1/4.
Подобным образом находим b 3 через b 5
b 3 = b 5 /q 2 =64*4 2 =1024.
Ответ: b 3 =1024.

Пример 15. В арифметической прогрессии а 9 +а 15 =14,8 . Вычислить а 12
Решение: В этом примере следует учесть, что 12 член прогрессии находится посередине между 9 ее номером и 15 . Поэтому соседние члены прогрессии (9, 15 ) можно выразить через 12 следующим образом
a 9 = a 12 -(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
a 9 = a 12 -3d;
a 15 = a 12 +3d.
Просуммируем крайние члены прогрессии
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12 .
Отсюда находим 12 член прогрессии
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14,8/2=7,4.
Ответ: a 12 =7,4.

Пример 16. В геометрической прогрессии b 10 *b 14 =289. Вычислить модуль 12 члена прогрессии | b 12 |.
Решение: Алгоритм решении задачи содержится в предыдущем примере. Следует выразить 10 и 14 член геометрической прогрессии через 12 . По свойствам геометрической прогрессии получим
b 10 = b 12 /q 2 ; b 14 = b 12 *q 2 .
Легко заметить, что при их произведения знамениик прогрессии пропадает
b 10 * b 14 = (b 12) 2 =289=17 2 .
Отсюда находим модуль | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Ответ: | b 12 |=17.

Пример 17. В геометрической прогрессии b 8 =1,3. Вычислить b 6 *b 10 .
Решение: Схема вычислений аналогична предыдущему примеру - выражаем 6 и 10 член прогрессии через 8.
b 6 = b 8 /q 2 ; b 10 = b 8 *q 2 .
При их умножении знаменатели сокращаются и получим квадрат известного члена прогрессии
b 6 *b 10 = (b 8) 2 =1,3 2 =1,69.
Ответ: b 6 *b 10 =1,69.

Пример 18. В арифметической прогрессии а 10 =3,6: a 12 =8. Вычислить а 8
Решение: Запишем члены прогрессии в ряд а 8 , а 10 , a 12 . Между ними одинаковый шаг, найдем его
a 12 = a 10 +2d;
2d= a 12 - a 10 =8-3,6=4,4.
Таким же методом находим а 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d=3,6-4,4=-0,8.
Вот такие несложные расчеты.
Ответ: a 8 =-0,8.

Пример 19. В геометрической прогрессии b 14 =8; b 16 =2. Вычислить b 12 .
Решение: Опуская подробные объяснения, запишем произведение 14 и 16 члена прогрессии
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
Это равносильно среднему геометрическому. Найдя корень из произведения членов, получим искомое значение
(b 12) 2 =8*2=16; b 12 =4.
Ответ: b 12 =4.

Пример 20. В арифметической прогрессии а 5 =3,4; a 11 =6,9. Вычислить а 17 .
Решение: Между 5,11 и 17 членом прогрессии одинаковый шаг и он равен 6d . Поэтому конечное решение можно записать в виде
а 17 = a 11 +6d= a 11 +(a 11 - а 5)=2*6,9-3,4=10,4.
Думаю, что Вы понимаете, почему такая запись. Если нет - попробуйте расписать 11 член прогрессии через 5 и виразить 6d .
Ответ: а 17 =10,4 .

Пример 21. Вычислить 6-й член геометрической прогрессии 3; 12;... .
Решение: Найдем знаменатель прогрессии
q=b 2 /b 1 =12/3=4.
Воспользуемся общей формуле члена геометрической прогрессии
b n = b 1 *q n-1 .
Отсюда получим
b 6 = b 1 *q 5 =b 2 *q 4 .
Как видите, главное в записи, чтобы сумма индекса (2) и степень (4) соответствовала порядковому номеру члена прогрессии (6). Выполняем вычисления
b 6 = 12*4 4 =12*256=3072.
Получили большое число, но геометрическая прогрессия тем и отличается, что ее члены или быстро растут, или - сходят.
Ответ: b 6 =3072.

Пример 22. В арифметической прогрессии а 3 =48; a 5 =42. Вычислить а 7 .
Решение: Так как разница прогрессии между заданными членами и искомым сталая и равна 2d то формула 7 члена прогрессии будет выглядеть
а 7 = a 5 +2d= a 5 +(a 5 - а 3);
а 7 =2*42-48=36 .
Ответ: а 7 =36.

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2n - 1,

а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой

b n = (-1) n +1 . ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

Например,

если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n +1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Например,

если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n

a n = a 1 + (n - 1)d.

Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n - 2)d,

a n = a 1 + (n - 1)d,

a n +1 = a 1 + nd ,

то, очевидно,

a n =	a n-1 + a n+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Например,

a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a n = 2n - 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,

a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.

Следовательно,

a n+1 + a n-1	=	2n - 5 + 2n - 9	= 2n - 7 = a n ,
2		2

◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k

a n = a k + (n - k )d .

Например,

для a 5 можно записать

a 5 = a 1 + 4d ,

a 5 = a 2 + 3d ,

a 5 = a 3 + 2d ,

a 5 = a 4 + d . ◄

a n = a n-k + kd ,

a n = a n+k - kd ,

то, очевидно,

a n =	a n-k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a m + a n = a k + a l ,

m + n = k + l.

Например,

в арифметической прогрессии

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как

a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a k , a k +1 , . . . , a n ,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0 , то она является возрастающей;
если d < 0 , то она является убывающей;
если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b n +1 = b n · q ,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например,

если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n ,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b n = -3 · 2 n ,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Следовательно,

b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой

b n = b k · q n - k .

Например,

для b 5 можно записать

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3 ,

b 5 = b 3 · q 2 ,

b 5 = b 4 · q . ◄

b n = b k · q n - k ,

b n = b n - k · q k ,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k · b n + k

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b m · b n = b k · b l ,

m + n = k + l .

Например,

в геометрической прогрессии

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S n = nb 1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b k , b k +1 , . . . , b n ,

то используется формула:

S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и q > 1;

b 1 < 0 и 0 < q < 1;

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и 0 < q < 1;

b 1 < 0 и q > 1.

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

|q | < 1 .

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

1 < q < 0 .

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой