Числа с отрицательной степенью решение. Отрицательная степень числа: правила возведения и примеры
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).
Определение 1
Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:
Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .
В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.
Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».
Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 (7 2) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.
Пример 1
Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.
В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4 , 32) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.
Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .
Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (− 2) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .
Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.
О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.
Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.
В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.
Определение 2
Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .
При этом n – любое целое положительное число.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Определение 3
Равенство a m: a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n: a n = a n − n = a 0
Но при этом a n: a n = 1 - частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.
Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .
Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени (a m) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Пример 2
Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.
После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .
Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.
В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Пример 3
Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a - n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
Пример 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Определение 4
Степень числа a с натуральным показателем z – это: a z = a z , e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я) 1 a z , е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я)
Что такое степени с рациональным показателем
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.
У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.
Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .
Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .
Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.
1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:
Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .
При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в которых основание отрицательно.
2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Определение 5
Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .
Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: - для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .
Для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7
Для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .
Для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .
В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .
Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
Определение 6
Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.
В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Что такое степени с иррациональным и действительным показателем
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
Пример 5
Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда
a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .
Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.
Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.
Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге: степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .
Определение 7
Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 - 5 , 0 - 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 будут равны 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 .
То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».
Выражение 5 6 - это степенью числа, где:
5 - основание степени;
6 - показатель степени.
Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.
В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так
Возвести число a в степень n - значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а
Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1
Если возвести число «а» возвести в первую степень , то получим само число a: a 1 = a
Если возвести любое число в нулевой степень , то в результате вычислений получим один. a 0 = 1
Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа , третью - кубом этого числа.
В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами:
При нахождении степени положительного числа получается положительное число .
При вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.
х m · х n = х m + n
например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :
х m / х n = х m — n , где, m > n,
например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6
При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.
(у m ) n = у m · n
например: (2 3) 2 = 2 3·2 = 2 6
(х · у) n = х n · у m ,
например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,
При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби
(х / у) n = х n / у n
например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 .
Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.
При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.
Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.
Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.
В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.
Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.
Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.
Онлайн-калькулятор возведения в степень
Что такое степень числа
Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.
Математически это выглядит следующим образом:
a n = a * a * a * …a n .
Например:
- 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.
Таблица степеней от 1 до 10
Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».
Ч-ло | 2-ая ст-нь | 3-я ст-нь |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Свойства степеней
Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.
Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Проверим на примерах:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Как видим, правила работают.
А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.
Посмотрим на примерах:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.
А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:
- при наличии скобок – начинать нужно с них;
- затем возведение в степень;
- потом выполнять действия умножения, деления;
- после сложение, вычитание.
Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:
- Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
- При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
- При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
- При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
- Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
- Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.
Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.
Степень с отрицательным показателем
Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?
Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :
A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
И наоборот:
1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
А если дробь?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Степень с натуральным показателем
Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.
Что нужно запомнить:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.
Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.
Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.
Дробная степень
Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.
С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.
Степень с иррациональным показателем
Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.
Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:
- А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;
- 0˂А˂1.
В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.
Например, показатель степени число π. Оно рациональное.
r 1 – в этом случае равно 3;
r 2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1 π = 1.
А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.
Заключение
Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.
Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.
Урок и презентация на тему: "Степень с отрицательным показателем. Определение и примеры решения задач"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.
Пособие к учебнику Алимова Ш.А.
Определение степени с отрицательным показателем
Ребята, мы с вами хорошо умеем возводить числа в степень.Например: $2^4=2*2*2*2=16$ ${(-3)}^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Мы хорошо знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. $a^0=1$, $a≠0$.
Возникает вопрос, а что будет, если возвести число в отрицательную степень? Например, чему будет равно число $2^{-2}$?
Первые математики, задавшиеся этим вопросом, решили, что изобретать велосипед заново не стоит, и хорошо, чтобы все свойства степеней оставались прежними. То есть при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются.
Давайте рассмотрим такой случай: $2^3*2^{-3}=2^{3-3}=2^0=1$.
Получили, что произведение таких чисел должно давать единицу. Единица в произведении получается при перемножении обратных чисел, то есть $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.
Такие рассуждения привели к следующему определению.
Определение. Если $n$ – натуральное число и $а≠0$, то выполняется равенство:
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
Важное тождество, которое часто используется: $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$.
В частности, $(\frac{1}{a})^{-n}=a^n$.
Примеры решения
Пример 1.Вычислите: $2^{-3}+(\frac{2}{5})^{-2}-8^{-1}$.
Решение.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
1. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2*2*2}=\frac{1}{8}$.
2. $(\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$.
3. $8^{-1}=\frac{1}{8}$.
Осталось выполнить операции сложения и вычитания: $\frac{1}{8}+\frac{25}{4}-\frac{1}{8}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$.
Ответ: $6\frac{1}{4}$.
Пример 2.
Представить заданное число в виде степени простого числа
$\frac{1}{729}$.
Решение.
Очевидно, что $\frac{1}{729}=729^{-1}$.
Но 729 - не простое число, заканчивающиеся на 9. Можно предположить, что это число является степенью тройки. Последовательно разделим 729 на 3.
1) $\frac{729}{3}=243$;
2) $\frac{243}{3}=81$;
3) $\frac{81}{3}=27$;
4) $\frac{27}{3}=9$;
5) $\frac{9}{3}=3$;
6) $\frac{3}{3}=1$.
Выполнено шесть операций и значит: $729=3^6$.
Для нашей задачи:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.
Пример 3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}$.
Решение. Первое действие выполняется всегда внутри скобок, затем умножение
$\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}=\frac{a^6*a^{-10}}{(a^5)^{-1}}=\frac{a^{(-4)}}{a^{(-5)}}=a^{-4-(-5)}=a^{-4+5}=a$.
Ответ: $a$.
Пример 4. Докажите тождество:
$(\frac{y^2 (xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}*\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}):\frac{1-x^{-1} y}{xy^{-1}+1}=\frac{x-y}{x+y}$.
Решение.
В левой части рассмотрим каждый сомножитель в скобках отдельно.
1.
$\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}=\frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2}
=\frac{y^2(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1)}{x(1+2\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+2y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^2-2xy+y^2}{\frac{x^2+2xy+y^2}{x}}=\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}$.
2. $\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}=\frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}
=\frac{\frac{y^2}{x^2}+1}{\frac{x^2}{y}+y}=\frac{\frac{y^2+x^2}{x^2}}{{\frac{x^2+y^2}{y}}}=\frac{y^2+x^2}{x^2} *\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{y}{x^2}$.
3. $\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}*\frac{y}{x^2}=\frac{y(x^2-2xy+y^2)}{x(x^2+2xy+y^2)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}$.
4. Перейдем к дроби, на которую делим.
$\frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1}=\frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1}=\frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}}=\frac{x-y}{x}*\frac{y}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}$.
5. Выполним деление.
$\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}*\frac{x(x+y)}{y(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$.
Получили верное тождество, что и требовалось доказать.
В конце урока еще раз запишем правила действий со степенями, здесь показатель степени - это целое число.
$a^s*a^t=a^{s+t}$.
$\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}$.
$(a^s)^t=a^{st}$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac{a}{b})^s=\frac{a^s}{b^s}$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите: $3^{-2}+(\frac{3}{4})^{-3}+9^{-1}$.2. Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{16384}$.
3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{b^{-8}*(b^3)^{-4}}{(b^2*b^{-7})^3}$.
4. Докажите тождество:
$(\frac{b^{-m}-c^{-m}}{b^{-m}+c^{-m}}+\frac{b^{-m}+c^{-m}}{c^{-m}-b^{-m}})=\frac{4}{b^m c^{-m}-b^{-m}c^m} $.
Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.
Калькулятор степеней
Возвести в степень
Возведений в степень: 20880
Что такое натуральная степень числа?
Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·...·a
n - называется показателем степени
, а число a - основанием степени
.
Как возвести число в натуральную степень?
Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:
Пример 1
. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение
: как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ
: 3 4 = 81 .
Пример 2
. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение
: аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ
: 5 5 = 3125 .
Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.
Что такое отрицательная степень числа?
Отрицательная степень -n числа a - это единица, поделённая на a в степени n: a -n = .При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.
Как возвести число в целую отрицательную степень?
Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.
Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4
Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0.0625 .Ответ : 2 -4 = 0.0625 .